Question

【題目】閱讀下列材料：

1637年笛卡爾在其《幾何學》中，首次應用“待定系數法”將四次方程分解為兩個二次方程求解，并最早給出因式分解定理．

他認為：對于一個高于二次的關于x的多項式，“是該多項式值為0時的一個解”與“這個多項式一定可以分解為（）與另一個整式的乘積”可互相推導成立．

例如：分解因式．

∵是的一個解，∴可以分解為與另一個整式的乘積．

設

而，則有

，得，從而

運用材料提供的方法，解答以下問題：

（1）①運用上述方法分解因式時，猜想出的一個解為_______（只填寫一個即可），則可以分解為_______與另一個整式的乘積；

②分解因式；

（2）若與都是多項式的因式，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①：x=-1；（x+1）；②；（2）3

【解析】

（1）①計算當x=-1時，方程成立，則必有一個因式為（x+1）,即可作答；

②根據待定系數法原理先設另一個多項式，然后根據多項式乘多項式的計算即可求得結論；

（2））設（其中M為二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程的解，然后列方程組求解即可．

解：（1）①，觀察知，顯然x=-1時，原式=0，則的一個解為x=-1；原式可分解為（x+1）與另一個整式的積．

故答案為：x=-1；（x+1）

②設另一個因式為（x2+ax+b），

（x+1）（x2+ax+b）=x3+ax2+bx+x2+ax+b

=x3+（a+1）x2+（a+b）x+b

∴a+1=0，a=-1， b=3

∴多項式的另一因式為x2-x+3．

∴．

（2）設（其中M為二次整式），

由材料可知，x=1，x=-2是方程的解，

∴可得，

∴②-①，得m-n=3

∴的值為3．