Question

【題目】初步探究

如圖①，過點P的兩條直線分別與⊙O相切于點Ａ，與⊙O相交于B、C兩點，且AC恰好經過圓心O．求證△PAB∽△PCA．

進一步探究

如圖②若其他條件不變，但AC不經過圓心O．上述結論是否成立？請說明理由．

嘗試應用

如圖③，PA＝3，PB＝，⊙O的半徑為2，請直接寫出直線PC上一點與圓心O的最短距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立.理由見解析（3）1．

【解析】試題分析：(1)、根據切線的性質得出∠PAB+∠BAC=90°，根據直徑的性質得出∠BAC+∠C=90°，從而得出∠PAB=∠C，結合公共角得出三角形相似；(2)、連接AO，延長AO交⊙O于D，連接BD，然后根據第一題相似的方法得出三角形相似；(3)、當AC為直徑時以及三角形相似得出最短距離.

試題解析：（1）∵PA與⊙O相切， ∴∠PAC＝90° ∴∠1＋∠PAB＝90°．

∵AC是⊙O的直徑 ∴∠1＋∠C＝90° ∴∠PAB＝∠C 又∵∠P＝∠P ∴△PAB∽△PCA

（2）成立.連接AO，延長AO交⊙O于D，連接BD．

∵PA與⊙O相切 ∴∠PAD＝90° ∴∠1＋∠PAB＝90° ∵AD是⊙O的直徑

∴∠1＋∠D＝90° ∴∠PAB＝∠D 又∵∠C＝∠D ∴∠PAB＝∠C

又∵∠P＝∠P ∴△PAB∽△PCA．

（3）1．