Question

【題目】閱讀下面材料，并解決問題：

如圖等邊內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，此時(shí)≌，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出______；

基本運(yùn)用

請你利用第題的解答思想方法，解答下面問題:已知如圖，中，，，E、F為BC上的點(diǎn)且，求證：；

能力提升

如圖，在中，，，，點(diǎn)O為內(nèi)一點(diǎn)，連接AO，BO，CO，且，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）．

【解析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)三角形全等，全等三角形對應(yīng)邊相等，全等三角形對應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；

把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，，再求出，從而得到，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，再利用勾股定理列式即可得證．

將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至處，連接，根據(jù)直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半求出，即的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得，等邊三角形三個(gè)角都是求出，然后求出C、O、、四點(diǎn)共線，再利用勾股定理列式求出，從而得到．

≌，

、、，

由題意知旋轉(zhuǎn)角，

為等邊三角形，

P，，

易證為直角三角形，且，

；

故答案為：；

如圖2，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，，，，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，，

，

，

由勾股定理得，，

即．

如圖3，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至處，連接，

在中，，，，

，

，

繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，

如圖所示；

，

繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，

，，，

是等邊三角形，

，，

，

，

、O、、四點(diǎn)共線，

在中，，

．