Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C、D兩點均在⊙O上，過點C作CE⊥AD于點E，且AC平分∠BAD.

（1）求證：CE為⊙O的切線；

（2）連結BD交AC于點F，若CF=5，sin∠CAD=，求線段BD的長.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) .

【解析】分析：（1）連結OC交BD于點G．證明∠ECA+∠ACO=90°即可得到結論；

（2）設DF=3x，則AF=5x，AD=4x．由∠CAD=∠ACO，得到sin∠FCG=．進而表示出BG，OG，OB．在Rt△OBG中，由勾股定理得到OB2=OG2+BG2，解方程即可得出結論．

詳解：（1）連結OC交BD于點G．

∵AC平分∠BAD，∴∠CAD=∠CAB．

又∵OA=OC，∴∠CAB=∠ACO．

又∵CE⊥AD， ∴∠E=90°，∴∠EAC+∠ECA=90°，

∴∠ECA+∠ACO=90°，∴CE為⊙O的切線．

（2）設DF=3x，則AF=5x，AD=4x．

又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴BD∥CE，∴OC⊥BD．

又∵∠CAD=∠ACO，∴sin∠FCG=．

又∵CF=5，∴CG=4，FG=3，∴DG=BG=3x+3．

又∵OC∥AE，∴OG=AD=2x，∴OC=OB=4+2x．

在Rt△OBG中，OB2=OG2+BG2，∴(4+2x)2=(2x)2+(3x+3)2 ，

∴x=或-1．

又∵x>0，∴x=，∴BD=2BG=．