Question

【題目】（問題背景）

（1）如圖1，等腰中，，，則______；

（知識應用）

（2）如圖2，和都是等腰三角形，，、、三點在同一條直線上，連接.

①求證：；

②請寫出線段，，之間的等量關系式，并說明理由？

（3）如圖3，和均為等邊三角形，在內作射線，作點關于的對稱點，連接并延長交于點，連接，.若，，求的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②；理由見解析；（3）

【解析】

（1）由等腰三角形的性質和銳角三角函數即可得解；

（2）①根據等腰三角形的性質，找出AD=AE，∠DAB=∠EAC ，AB=AC，即可得證；②由全等三角形的性質得出BD=CE，再由（1）中的結論得出，即可得出等量關系；

（3）正確作輔助線，連接BE，作BG⊥AE，由對稱性證得△EFC為等邊三角形，然后構造直角三角形，求出∠GFB=30°，利用三角函數即可得解.

（1）作AD⊥BC，如圖所示：

∵，，

∴∠ABC=∠ACB=30°，BD=CD=BC

∴在Rt△ABD中，

∴

∴

（2）①∵和都是等腰三角形，

∴AD=AE，AB=AC，

∵，

∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE

∴∠DAB=∠EAC

∴（SAS）

②

理由：由①中，得BD=CE

∵是等腰三角形，∠DAE=120°

∴由（1）中結論得知，

∵

∴

（3）連接BE，作BG⊥AE于點G，如圖所示：

∵和均為等邊三角形，

∴四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°

∵C、E關于BM對稱

∴BE=BC，FE=FC，∠EBF=∠CBF，∠EFB=∠CFB

∴AB=BC=BE

∵BG⊥AE

∴AG=GE，∠ABG=∠GBE

∴∠GBF=∠GBE+∠EBF=∠ABC=60°

∴∠EFB=∠CFB=30°，即∠EFC=60°

∴△CEF為等邊三角形

∴EF=CE=1

∵AE=4

∴GE=2

∴GF=GE+EF=2+1=3

∴在Rt△GBF中，∠GFB=30°，