Question

【題目】在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+mx+2m﹣7的圖象經過點（1，0）．

（1）求拋物線的表達式；
（2）把﹣4＜x＜1時的函數圖象記為H，求此時函數y的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，將圖象H在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象H的其余部分保持不變，得到一個新圖象M．若直線y=x+b與圖象M有三個公共點，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數y=x2+mx+2m﹣7的圖象經過點（1，0），

∴1+m+2m﹣7=0，解得m=2．

∴拋物線的表達式為y=x2+2x﹣3

（2）解：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4．

∵當﹣4＜x＜﹣1時，y隨x增大而減小；

當﹣1≤x＜1時，y隨x增大而增大，

∴當x=﹣1，y最小=﹣4．

當x=﹣4時，y=5．

∴﹣4＜x＜1時，y的取值范圍是﹣4≤y＜5

（3）解：y=x2+2x﹣3與x軸交于點（﹣3，0），（1，0）．

新圖象M如右圖紅色部分．

把拋物線y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4的圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，則翻折部分的拋物線解析式為y=﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1），

當直線y=x+b經過（﹣3，0）時，直線y=x+b與圖象M有兩個公共點，此時b=3；

當直線y=x+b與拋物線y=﹣（x+1）2+4（﹣3≤x≤1）相切時，直線y=x+b與圖象M有兩個公共點，

即﹣（x+1）2+4=x+b有相等的實數解，整理得x2+3x+b﹣3=0，△=32﹣4（b﹣3）=0，解得b= ．

結合圖象可得，直線y=x+b與圖象M有三個公共點，b的取值范圍是3＜b＜ ．

【解析】（1）把點（1，0）代入拋物線解析式得到關于m的方程，從而可求得m的值，將m的值代入可得到拋物線的表達式；
（2）先求得拋物線的頂點坐標和對稱軸，然后畫出大致圖像，最后，依據函數圖像進行判斷即可；
（3）根據題意作出函數圖象，然后由函數圖像可確定新圖象M與直線有三個交點時的界點，然后利用待定系數法求解即可.
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質和二次函數圖象的平移的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；平移步驟：（1）配方 y=a(x-h)2+k，確定頂點（h,k）（2）對x軸左加右減；對y軸上加下減才能正確解答此題．