Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD=10，E為AB上一點，且AE= AB=a，連結DE，F是DE中點，連結BF，以BF為直徑作⊙O．

（1）用a的代數式表示DE2= ， BF2=；
（2）求證：⊙O必過BC的中點；
（3）若⊙O與矩形ABCD各邊所在的直線相切時，求a的值；
（4）作A關于直線BF的對稱點A′，若A′落在矩形ABCD內部（不包括邊界），則a的取值范圍 ． （直接寫出答案）

Answer 1

【答案】
（1）a2+100,
（2）證明：如圖1，設⊙O交BC于H，連接FH，

∵BF是⊙O的直徑，

∴∠BHF=90°，

∴∠ABC=∠BHF=∠AGF=90°，

∴四邊形BGFH是矩形，

∴BH=GF= AD= BC，

∴H是BC的中點，

即：⊙O必過BC的中點

（3）解：分兩種情況：

①如圖2，當⊙O與邊CD相切時，設切點為M，連接OM、FH交于N，則OM⊥CD，

∴OM=ON+MN= +5= ，

∵OM⊥FH，

∴NF= FH= × = a，

Rt△ONF中，ON2+NF2=OF2=OM2，

∴ +（ ）2= ，

a= ，

∵a＞0，

∴a= ，

②如圖3，當⊙O與邊AD相切時，設切點為Q，

連接OQ，則OQ⊥AD，連接FG，交OQ于P，

∴OQ=OP+PQ= BG+AG= + = a，

由（1）知： 且BF=2OQ，

∴25+ a2=（2× a）2，

a= ，

綜上所述，若⊙O與矩形ABCD各邊所在的直線相切時，a的值為 或

（4） ＜a＜
【解析】解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

在Rt△AED中，AE=a，AD=10，

由勾股定理得：ED2=AE2+AD2=a2+102=a2+100，

設⊙O交AB于G，連接FG，

∵BF是⊙O的直徑，

∴∠BGF=90°，

∵∠A=90°，

∴∠BGF=∠A，

∴FG∥AD，

∵F是ED的中點，

∴GF= AD=5，EG=AG= a，

∵AE= AB=a，

∴AB=4a，

∴BG=4a﹣ a= a，

由勾股定理得：BF2=BG2+GF2，

∴BF2= +52= +25= ，

所以答案是：a2+100； ；

⑷如圖4，當A的對稱點A′恰好在邊BD上時，連接AA′交BF于H，連接AF、A′F，過F作MN⊥BC，交BC于M，交AD于N，則MN⊥AD，

∵A關于直線BF的對稱點A′，

∴BF是AA′的垂直平分線，

∴AF=A′F，AB=A′B=4a，

由（1）（2）得：FN= a，FM= a，A′M=4a﹣5，AN=5，

由勾股定理得： =（4a﹣5）2+ ，

解得：a1=0（舍），a2= ，

∴當a＜ 時，A′落在矩形ABCD外部（包括邊界），

如圖5，當A′落在邊CD上時，連接AA′、A′B，過F作MG⊥AB，則MG⊥CD，

設射線BF交AD于N，

易得A′G=AM=DG= a，A′C=3a，

∵BF是AA′的垂直平分線，

∴AB=A′B，

則（4a）2=102+（3a）2，

a= ，

∴a的取值范圍是： ＜a＜ ，

所以答案是： ＜a＜ ．

【考點精析】根據題目的已知條件，利用線段垂直平分線的性質和勾股定理的概念的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．