Question

【題目】如圖，以△ABC的邊AB、AC為腰分別向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，連接DE.若M為BC中點，MA延長線交DE于點H，

(1) 求證：AH⊥DE.

(2) 若DE=4，AH=3，求△ABM的面積

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）3

【解析】

（1）延長AM至點F，使MF=AM，連接BF，直接證明△AMC≌△FMB，然后通過角度轉換得到∠FBA=∠DAE，再證明FBA≌△EAD，即可求得∠AHE=90°；（2）DE=4，AH=3，求出S△ADE，從而得出S△ABC，M為BC的中點，即可求得△ABM的面積.

（1）延長AM至點F，使MF=AM，連接BF，

∵M為BC的中點，∠AMC=∠BMF，

在△AMC和△FMB中

∴△AMC≌△FMB（SAS）

∴∠BFM=∠MAC，∠FBM=∠MCA，BF=CA,

△ABD和△ACE都為等腰直角三角形，

∴∠DAE=180°-∠BAC，

∴∠FBA=∠DAE，

在△FBA和△EAD中

∴△FBA≌△EAD（SAS），

∴∠BFA=∠AED，

∵∠EAC=90°，

∴∠MAC+∠HAE=90°，

∴∠HAE+∠DEA=90°，

∴∠AHE=90°，

∴AH⊥DE；

（2）∵DE=4，AH=3，

∴S△ADE=3×4÷2=6，

∴S△FBA=6，即S△ABC=6，

∵M為BC的中點，

∴S△ABM=3