Question

【題目】△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為邊在AD右側作正方形ADEF，連接CF．

（1）觀察猜想

如圖1，當點D在線段BC上時，

① BC與CF的位置關系為　 　；

② BC，CD，CF之間的數量關系為　 　．（直接寫出結論）

（2）數學思考

如圖2，當點D在線段CB的延長線上時，結論①，②是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明．

（3）拓展延伸

如圖3，當點D在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點G，連接GE．若已知AB=， CD=BC，則GE的長為 ．（請直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）①BC⊥CF；②BC=CF+CD；（2）CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC，詳見解析；（3）.

【解析】

(1) 根據正方形的性質得到∠DAF=∠BAC=90°， 推出△DAB≌△FAC，根據全等三角形的性質即可得到結論；根據全等三角形的性質得到CF=BD， ∠ACF=∠ABD，根據余角的性質即可得到結論；
(2)根據正方形的性質得到∠BAC=∠DAF=90"，推出△DAB≌△FAC，根據全等三角形的性質以及等腰三角形的角的性質可得到結論；
(3) 過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如圖3所示，由△ADH≌△DEM，推出EM=DH=3，DM=AH=2， 推出CN=EM=3，EN=CM=3，由△BCG是等腰直角三角形，推出CG=BC=4，推出GN=CG-CN=1，再由勾股定理即可解決問題.

（1）①∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=∠BAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF,

∵AB=AC,

∴△DAB≌△FAC,

∴∠B=∠ACF,

∴∠ACB+∠ACF=∠ACB+∠ABC=90°，

∴BC⊥CF,

故答案為：BC⊥CF；

②∵△DAB≌△FAC,

∴CF=BD，

∵BC=BD+CD，

∴BC=CF+CD，

故答案為：BC=CF+CD；

(2)CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC，理由如下：

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=∠BAC=90°，

∴∠BAD=∠CAF,

∵AB=AC,

∴△DAB≌△FAC,

∴∠ABD=∠ACF,

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC=45°，

∴∠ABD=180°-45°=135°，

∴∠BCF=∠ACF-∠ACB=135°-45°=90°，

∴CF⊥BC，

∵CD=DB+BC，DB=CF，

∴CD=CF+BC；

(3)過A作AH⊥ BC于H，過E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如圖3所示：

∵∠BAC=90°，AC=AB=，

∴BC=4，

∴CD=BC=1，

∵AH⊥BC，

∴AH=BC=BH=CH=2,
∴DH=CH+CD=3，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四邊形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90"，
∴∠ ADH=∠DEM，

∴△ADH≌△DEM (AAS) ，
∴EM=DH=3，DM=AH=2，
∴CN=EM=3， EN=CM=3，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45° ，
∴△BCG是等腰直角三角形，

∴CG=BC=4，

∴GN=1，

在Rt△EGN中，EG=.

故答案為： .