Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E為AC上一點，且AE=BC，過點A作AD⊥CA，垂足為A，且AD=AC，AB、DE交于點F.

（1）判斷線段AB與DE的數量關系和位置關系，并說明理由；
（2）連接BD、BE，若設BC=a，AC=b，AB=c，請利用四邊形ADBE的面積證明勾股定理．

Answer 1

【答案】
（1）解：AB=DE， AB⊥DE．

如圖2，

∵AD⊥CA，∴∠DAE=∠ACB=90°，

∵AE=BC，∠DAE=∠ACB，AD=AC，∴△ABC≌△DEA，∴AB=DE，

∠3=∠1，∵∠DAE=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠3+∠2=90°，

∴∠AFE=90°，∴AB⊥DE

（2）解：如圖2，

∵S四邊形ADBE= S△ADE+ S△BDE= DE·AF+ DE·BF= DE·AB = c2，

S四邊形ADBE=S△ABE+S△ADB= a2＋ b2，

∴ a2＋ b2= c2，∴a2＋b2=c2．

【解析】（1）由題目中的已知條件可直接得到△ABC≌△DEA，問題得解；（2）四邊形ADBE的兩種構成：S四邊形ADBE= S△ADE+ S△BDE和
S四邊形ADBE=S△ABE+S△ADB，可驗證勾股定理。