Question

【題目】已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=3，BC=4．若P為線段AB上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)PD到E，使DE=2PD，再以PE、PC為邊作平行四邊形PCQE，求對(duì)角線PQ的最小值為______________．

Answer 1

【答案】7

【解析】分析：設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G，PE∥CQ，PD=DE，可得=，易證得Rt△ADP∽Rt△HCQ，繼而求得BH的長(zhǎng)，即可求得答案.

詳解：設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G，

∵PE∥CQ，PD=DE，

∴=，

∴G是DC上一定點(diǎn)，

作QH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于H，

同理可證∠ADP=∠QCH，

∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，

即∴=，

∴CH=3，

∴BH=BC+CH=4+3=7，

∴當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的長(zhǎng)最小，即為7.

故答案為：7.