Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別是AC，BC上的點，且滿足DE⊥EF，垂足為點E，連接DF．

（1）求∠EDF= （填度數）；

（2）延長DE交AB于點G，連接FG，如圖2，猜想AG，GF，FC三者的數量關系，并給出證明；

（3）①若AB=6，G是AB的中點，求△BFG的面積；

②設AG=a，CF=b，△BFG的面積記為S，試確定S與a，b的關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)45°；(2)GF=AG+CF，證明見解析；(3)①6； ②，理由見解析.

【解析】

（1）如圖1中，連接BE．利用全等三角形的性質證明EB=ED，再利用等角對等邊證明EB=EF即可解決問題．

（2）猜想：GF=AG+CF．如圖2中，將△CDF繞點D旋轉90°，得△ADH，證明△GDH≌△GDF（SAS）即可解決問題．

（3）①設CF=x，則AH=x，BF=6-x，GF=3+x，利用勾股定理構建方程求出x即可．

②設正方形邊長為x，利用勾股定理構建關系式，利用整體代入的思想解決問題即可．

解：（1）如圖1中，連接BE．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD=CB，∠ECD=∠ECB=45°，

∵EC=EC，

∴△ECB≌△ECD（SAS），

∴EB=ED，∠EBC=∠EDC，

∵∠DEF=∠DCF=90°，

∴∠EFC+∠EDC=180°，

∵∠EFB+∠EFC=180°，

∴∠EFB=∠EDC，

∴∠EBF=∠EFB，

∴EB=EF，

∴DE=EF，

∵∠DEF=90°，

∴∠EDF=45°

故答案為45°．

（2）猜想：GF=AG+CF．

如圖2中，將△CDF繞點D旋轉90°，得△ADH，

∴∠CDF=∠ADH，DF=DH，CF=AH，∠DAH=∠DCF=90°，

∵∠DAC=90°，

∴∠DAC+∠DAH=180°，

∴H、A、G三點共線，

∴GH=AG+AH=AG+CF，

∵∠EDF=45°，

∴∠CDF+∠ADG=45°，

∴∠ADH+∠ADG=45°

∴∠GDH=∠EDF=45°

又∵DG=DG

∴△GDH≌△GDF（SAS）

∴GH=GF，

∴GF=AG+CF．

（3）①設CF=x，則AH=x，BF=6-x，GF=3+x，

則有（3+x）2=（6-x）2+32，

解得x=2

∴S△BFG=BFBG=6．

②設正方形邊長為x，

∵AG=a，CF=b，

∴BF=x-b，BG=x-a，GF=a+b，

則有（x-a）2+（x-b）2=（a+b）2，

化簡得到：x2-ax-bx=ab，

∴S=（x-a）（x-b）=（x2-ax-bx+ab）=×2ab=ab．