Question

【題目】△ABC是等邊三角形，P為平面內的一個動點，BP=BA，0<∠PBC<180 ，DB平分∠PBC，且DB=DA．

（1）當BP與BA重合時（如圖1），求∠BPD的度數；

（2）當BP在∠ABC的內部時(如圖2)，求∠BPD的度數；

（3）當BP在∠ABC的外部時，請你直接寫出∠BPD的度數.

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）30°；（3）∠BPD=30°或150°.

【解析】

（1）由于P，A重合，DP=DB，∠DBP=∠DPB，因為DB是∠PBC的平分線，因此，∠DBP=∠DPB=30°；
（2）連接CD，BP=BC，BD又是∠PBC的平分線，則△PBD≌△CBD，有∠BPD=∠BCD，那么關鍵是求∠BCD的值，可通過證明△ACD和△BCD全等來得出，∠BCD=∠ACD=30°，然后求出∠BPD的度數；
（3）同（2）的證法完全一樣，先求出∠BCD的度數，然后證明△BPD≌△BCD．（當∠BPD是鈍角時，∠BPD=∠BCD=（360-60）÷2=150°，還是用的（2）中的△BPD≌△BCD，△BCD≌△ACD）.

解：（1）在等邊三角形ABC中，

∴∠ABC=∠PBC=60°，

∵DB平分∠PBC，

∴∠PBD=30°

∵DB=DA，

∴∠DBP=∠DPB=30°；

（2）如圖，連接CD，

∵點D在∠PBC的平分線上
∴∠PBD=∠CBD
∵△ABC是等邊三角形
∴BA=BC=AC，∠ACB=60°
∵BP=BA
∴BP=BC
∵BD=BD
∴△PBD≌△CBD（SAS）
∴∠BPD=∠BCD
∵DB=DA，BC=AC，CD=CD
∴△BCD≌△ACD
∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°
∴∠BPD=30°；

（3）當BP在∠ABC的外部時，如圖

當∠BPD是銳角時，由（2）知，△BCD≌△ACD
∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°，

由△PBD≌△CBD，

∴∠BPD=30°；

當∠BPD是鈍角時，由（2）知，△BCD≌△ACD
∴∠BCD=∠ACD，

∴∠BCD=（360°-60°）÷2=150°，

由△PBD≌△CBD，

∴∠BPD=∠BCD=150°；

綜合上述，∠BPD=30°或150°.