Question

【題目】如圖所示，矩形中，，，點在上，.動點、分別從點、同時出發，沿射線、線段向點的方向運動（點可運動到的延長線上），當動點運動到點時，、兩點同時停止運動.聯結、、，過三邊的中點作.設動點、的速度都是1個單位/秒，、運動的時間為秒.試解答下列問題：

（1）說明；

（2）設，試問為何值時，為直角三角形？

（3）試用含的代數式表示，并求當為何值時，最小？求此時的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當或時，為直角三角形；（3）當時， 的值最小，；當時，的值也最小，.

【解析】

（1）由根據題意可知P、W、Q分別是△FMN三邊的中點，可得PW是△FMN的中位線，然后即可證明△FMN∽△QWP；

（2）由（1）得，△FMN∽△QWP，當△QWP為直角三角形時，△FMN為直角三角形，根據DM＝BN＝x，AN＝6x，AM＝4x，利用勾股定理求得FM2＝4＋x2，MN2＝（4x）2＋（6x）2，FN2＝（4x）2＋16，然后分①當MN2＝FM2＋FN2時，②當FN2＝FM2＋MN2時，③FM2＝MN2＋FN2時三種情況討論即可．

（3）根據①當0≤x≤4，即M從D到A運動時，MN≥AN，AN＝6x，故只有當x＝4時，MN的值最小即可求得答案，②當4＜x≤6時，MN2＝AM2＋AN2＝（x4）2＋（6x）2，解得x即可.

（1）由題意可知、、分別是三邊的中點，

是的中位線，即，

同理，.

，

同理，.

（2）由（1）得，，

故當為直角三角形時，為直角三角形，

反之亦然.

由題意可得，，，

由勾股定理分別得，，.

過點N作NK⊥CD于K，

∴CK＝BN＝x，

∵CF＝CDDF＝62＝4，

∴FK＝4x，

∴FN2＝NK2＋FK2＝（4x）2＋16，

①當MN2＝FM2＋FN2時，（4x）2＋（6x）2＝4＋x2＋（4x）2＋16，

解得x＝，

②當時，，

此方程無實數根.

③時，，

解得（不合題意，舍去），，

綜上，當或時，為直角三角形

（3）①當，即從到運動時，，，

故只有當時，的最小值，的值也最小，

此時，；

②當時，，

當，取得最小值2，

當時，的值最小，此時.

綜上：當時， 的值最小，；當時，的值也最小，.