Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙0上的一點，直線MN經過點C，過點A作直線MN的垂線，垂足為點D，且∠BAC=∠DAC

（1）猜想直線MN與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若CD=6，cos∠ACD=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）相切,理由見解析；（2）6.25

【解析】

（1）連接OC，推出AD∥OC，從而得OC⊥MN，根據切線的判定推出即可．

（2）求出AD、AB長，證△ADC∽△ACB，得出比例式，代入求出AB長即可．

解：（1）直線MN與⊙O的位置關系是相切．理由如下：

連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠CAB=∠DAC，

∴∠DAC=∠OCA．

∴OC∥AD．

∵AD⊥MN，

∴OC⊥MN．

∵OC為半徑，

∴MN是⊙O切線．

（2）∵CD=6，，

∴AC=10．

由勾股定理得：AD=8．

∵AB是⊙O直徑，AD⊥MN，

∴∠ACB=∠ADC=90°．

∵∠DAC=∠BAC，

∴△ADC∽△ACB．

∴，即．

∴AB=12.5．

∴⊙O半徑是×12.5=6.25．