Question

【題目】若拋物線L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數且abc≠0）與直線l都經過y軸上的同一點，且拋物線的頂點在直線l上，則稱拋物線L與直線l具有“一帶一路”關系，并且將直線1叫做拋物線L的“路線”，拋物線L叫做直線l的“帶線”

（1）若“路線”l的表達式為y=2x﹣4，它的“帶線”L的頂點的橫坐標為﹣1，求“帶線”L的表達式；

（2）如果拋物線y=2x2﹣4x+1與直線y=nx+1具有“一帶一路”關系，如圖，設拋物線與x軸的一個交點為A，與y軸交于點B，其頂點為C．

①求△ABC的面積；

②在y軸上是否存在一點P，使S△PBC=S△ABC，若存在，直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=2x2+4x﹣4；（2）①；②P點坐標為（0，）或（0，）．

【解析】

（1）根據自變量與函數值的對應關系，可得頂點坐標，根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）①根據配方法，可得頂點坐標，根據待定系數法，可得BC的解析式，根據自變量與函數值的對應關系，可得B，A點坐標，根據三角形的面積的和差，可得答案；

②根據面積間的關系，可得關于n的方程，根據解方程，可得答案．

（1）∵“帶線”L的頂點的橫坐標為﹣1，∴y=2×（﹣1）﹣4=﹣6，∴“帶線”L的頂點的（﹣1，﹣6），設L的解析式為y=a（x+1）2﹣6．

∵“路線”y=2x﹣4與y軸的交點坐標是（0，﹣4）．

∵帶線”L也經過（0，﹣4），將（0，﹣4）代入L的表達式，得：a=2，“帶線”L的表達式為y=2（x+1）2﹣6=2x2+4x﹣4；

（2）①y=2x2﹣4x+1=2（x﹣1）2﹣1其頂點坐標是（1，﹣1），直線y=nx+1經過（1，﹣1），解得：n=﹣2，直線BC的解析式為y=﹣2x+1，當y=0時，﹣2x+1=0，解得：x=，即D（，0），AD=1﹣=

當x=0時，y=1，即B（0，1），當y=0時，2x2﹣4x+1=0，解得：x=1，即A點坐標為（1+，0），∴S△ABC=AD（yB﹣yC）=××（1+1）=；

②如圖，設P（0，n），BP=|1﹣n|，由S△PBC=S△ABC，得：

|1﹣n|×1=×，化簡得：1﹣n=，或n﹣1=

解得：n=或n=，P點坐標為（0，）或（0，）．