Question

【題目】在學習了全等三角形和等邊三角形的知識后，張老師出了如下一道題：如圖，點B是線段AC上任意一點，分別以AB、BC為邊在AC同一側作等邊△ABD和等邊△BCE，連接CD、AE分別與BE和DB交于點N、M，連接MN．求證：△ABE≌△DBC．

接著張老師又讓學生分小組進行探究：你還能得出什么結論？

精英小組探究的結論是：AM=DN

奮斗小組探究的結論是：△EMB≌△CNB．

創新小組探究的結論是：MN∥AC．

（1）你認為哪一小組探究的結論是正確的？

（2）選擇其中你認為正確的一種情形加以證明．

Answer 1

【答案】（1）三個小組探究的結論都正確；（2）見解析

【解析】試題分析：由△ABD和△BCE是等邊三角形，根據SAS易證得△ABE≌△DBC，由△ABE≌△DBC，可得∠EAC=∠NDB，又由∠ABD=∠MBN=60°，利用ASA，可證得△ABM≌△DBN，△EMB≌△CNB，又可證得△BMN是等邊三角形，于是得到結論．

試題解析：（1）三個小組探究的結論都正確；

（2）∵△ABD和△BCE是等邊三角形，

∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，

∴∠ABE=∠DBC，

在△BAE與△DBC中， ,

∴△ABE≌△DBC，

∴∠BAM=∠BDN，∠AEB=∠DCB，

在△ABM與△DBN中， ，

∴△ABM≌△DBN，

∴AM=DN，BM=BN，

∵∠MBN=180°﹣60°﹣60°=60°，

∴△BMN是等邊三角形，

∴∠BMN=60°，

∴∠BMN=∠ABM，

∴NM∥AC，

在△EMB與△CNB中， ，

∴△EMB≌△CNB．