Question

【題目】如圖，△ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，若PR＝PS，則下列結論正確的個數是（　　）

（1）PQ＝PB； （2）AS＝AR；（3）△BRP≌△PSC （4）∠C＝∠SPC

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上可得AP平分∠BAC，由直角三角形全等的判定方法得出Rt△ARP≌Rt△ASP，從而判斷出（2）正確；根據由一組邊相等和一組角相等無法判斷△BRP≌△PSC，從而判斷出（3）錯誤；同（3）也無法判斷△BRP≌△PSQ，所以PQ≠PB，從而判斷出（1）錯誤；△PSC是直角三角形，不一定是等腰直角三角形，所以∠C與∠SPC不一定相等，從而判斷出（4）錯誤.

連接AP，

∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，

∴點P在∠A的平分線上，∠ARP＝∠ASP＝90°，

∴∠SAP＝∠RAP，

在Rt△ARP和Rt△ASP中，，

∴Rt△ARP≌Rt△ASP，（HL），

∴AR＝AS，∴（2）正確；

∵PR＝PS，∠PRB＝∠PSC＝90°，

∴無法判斷△BRP≌△PSC，故（3）錯誤；

∵∠PRB＝∠PSQ＝90°，PR＝PS，

無法判斷△BRP≌△PSQ，

∴PQ≠PB，故（1）錯誤；

∵△PSC是直角三角形，不一定是等腰直角三角形，

∴∠C與∠SPC不一定相等，故（4）錯誤；

故選：A．