Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E是BC的中點，連接AE與對角線BD交于點G，連接CG并延長，交AB于點F，連接DE交CF于點H，連接AH．以下結論：①CF⊥DE；②；③AD＝AH；④GH＝，其中正確結論的序號是__________．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

根據全等三角形的判定定理證出和，根據全等三角形的性質證出∠CDE=∠BCF，即可證出∠CHE=90°，從而判斷①；根據勾股定理求出DE，利用面積求出CH，證出，即可求出HF，從而判斷②；過點A作AM⊥DH于M，證出AM垂直平分DH，即可判斷③；證出，列出比例式即可判斷④．

解：∵正方形ABCD的邊長為6，點E是BC的中點，BD為正方形的對角線

∴

∴

∴

在和中

∴

∴

∴∠CDE=∠BCF

∵∠CDE＋∠CED=90°

∴∠BCF＋∠CED=90°

∴∠CHE=90°

∴CF⊥DE，故①正確；

∵，

根據勾股定理

∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴HF=CF－CH=

∴，故②正確；

過點A作AM⊥DH于M

∵

根據勾股定理可得

∵

∴

∵CD=DA，∠DHC=∠AMD=90°

∴

∴DM=，

∴DM=，

∴AM垂直平分DH

∴AD=AH，故③正確；

∵

∴EH=DE－DH=，

∵

∴AM∥CF

∴

∴

即

解得GH＝，故④正確．

綜上：正確的有①②③④．

故答案為：①②③④．