Question

【題目】如圖1，點E是正方形ABCD邊CD上任意點，以DE為邊作正方形DEFG，連接BF．點M是線段BF中點，射線EM與BC交于點H，連接CM．

(1)請直接寫出CM和EM的數量關系和位置關系：__________；

(2)把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉90°，此時點E、G恰好分別落在線段AD、CD上，如圖2所示，其他條件不變，(1)中的結論是否成立，請說明理由．

(3)若DG＝，AB＝4．

①把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉45°，此時點F恰好落在線段CD上，連接EM，如圖3所示，其他條件不變，計算EM的長度；

②若把圖1中的正方形DEFG繞點D順時針旋轉一周，請直接寫出EM的最大值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）成立，具體利用見解析；（3）①；②．

【解析】

（1）證明，得到HM=EM，根據等腰之間三角形的性質即可得到；

（2）連接DF，MG，作于N，可證得，得到ME=MG，，再由M為BF的中點，，得到GN=NC，進一步可得到，又，，再由角度的關系可得到，即可得到結論．

（3）①連接BE，CE，過點E作于點H，根據正方形的性質可推出，，證明，進一步可得到△CME是等腰直角三角形，根據之間三角形的性質求解即可．

②由條件可證的△CME為等腰直角三角形，當CE最大時，EM最大，當點E旋轉至D點下方時，且C，D，E共線時CE最大，此時CE=，再根據勾股定理即可求解．

（1）結論：．

理由：如圖1中，

∵,，

∴，

在△FME和△BMH中，

，

∴，

∴HM=EM，EF=BH．

∵CD=BC，

∴CE=CH,

又∵，HM=EM，

∴．

（2）．

理由：如圖，連接DF，MG，作于N，

在△EDM和△GDM中，

，

∴，

∴ME=MG，，

∵M為BF的中點，，

∴GN=NC，

又，

∴MC=ME，

∴MC=MG，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴（1）中結論成立．

（3）①解：如圖，連接BE，CE，過點E作于點H，

∵四邊形ABCD和四邊形EDGH是正方形，

∴，，

∴點B、E、D在同一條直線上，

∵，，M為BF的中點，

∴，，

∴CM=ME，

又∵，

∴，

，

∴，，

∴,

∴，

∴,

∴△CME是等腰直角三角形，，

在Rt△CME中，，，

∴EH=DH=1，

∴CH=4-1=3，

在Rt△CHE中，，

∴ ．

②由上問可知一直成立，

∴△CME為等腰直角三角形，

∴當CE最大時，EM最大，

當點E旋轉至D點下方時，且C，D，E共線時CE最大，

此時CE=．

設CM=EM=x，

則，

解得，

∴EM的最大值為．