Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點，與y軸交于點C(0,3).

（1）求該拋物線所對應的函數關系式；

（2）設拋物線上的一個動點P的橫坐標為t（0＜t＜3），過點P作PD⊥BC于點D. ① 求線段PD的長的最大值；② 當BD=2CD時，求t的值；

（3）若點Q是拋物線的對稱軸上的動點，拋物線上存在點M，使得以B、C、Q、M為頂點的四邊形為平行四邊形，請求出所有滿足條件的點M的坐標.

Answer 1

【答案】(1) y=-x2+2x+3;(2)①;②2;(3) (2,3)或(4,-5)或(-2,-5).

【解析】試題分析: （1）將A、B、C三點的坐標代入y=a（x+1）（x-3）即可求出拋物線的解析式．

（2）①過點P作PE⊥x軸于點E，交BC于點F，求出△PBC的最大面積，即可求出PD的最大值．

②過點D作DG⊥x軸于點G，由于DG∥OC，從而可知，從而可求出t的值．

（3）由于BC是B、C、Q、M為頂點的四邊形中的一條固定的線段，因此將此線段分為平行四邊形的邊和對角線進行討論即可求出M的坐標．

試題解析:

（1）設拋物線所對應的函數關系式為

將A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入得：

解得：

∴拋物線所對應的函數關系式為

（2）①設點P的坐標為（t， ）

過P作PN⊥x軸于點F，交BC于點E

設直線BC解析式為y=kx+b

把B（3，0），C（0，3）代入y=kx+b得

解得：k=-1,b=3

∴直線BC解析式為y=-x+3

∴點E坐標為（t， ）

PE=-（）=

∵OB=OC=3，∴∠OBC=45°

∵PD⊥BC

∴∠PED=45°

∴PD=PE×sin45°=PE=（）=-

∴當t=時，PD的最大面積為

②過D作DG⊥x軸于點G，則DG∥OC

∴△BOC∽△BGD

∴

當BD=2CD時，BD：BC=2：3

∴DG=2，即點D的縱坐標為2

把y=2代入y=-x+3得x=1

∴D點坐標為（1，2）

設直線PD解析式為：y=x+b

把D（1，2）代入上式得：

2=1+b,

解得：b=1

∴直線PD解析式為y=x+1

解方程組得： ， （ 舍去）

∴當BD=2CD時,t的值為2

{或∵△PDE是等腰直角三角形，∴）

即，

解得： ， （ 舍去）}

（3）∵點Q是拋物線的對稱軸x=1上的動點，

∴點Q的橫坐標為1,

∵點M在拋物線上，∴設點M的坐標為（m， ）

（I）如圖，當BC、QM為平行四邊形的對角線時，

可得：

即：3=1+m,

∴m=2

∴點M坐標為（2，3）

（II）如圖，當BQ、MC為平行四邊形的對角線時，

可得：

即：3+1=m,

∴m=4

∴點M坐標為（4，-5）

（III）如圖，當BM、QC為平行四邊形的對角線時，

可得：

即：3+m=1,

∴m=-2

∴點M坐標為（-2，-5）

綜合以上所述，滿足平行四邊形的點M的坐標為（2，3）或（4，-5）或（-2，-5）

點睛: 本題難度較大，考查的是二次函數圖象與解析式的靈活運用，一般這樣題目都是作為壓軸題出現，考生平時應多積累二次函數的綜合知識．