Question

【題目】如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=8，BC=6，點D為AB的中點，動點P從點A出發，沿AC方向以每秒1個單位的速度向終點C運動，同時動點Q從點C出發，以每秒2個單位的速度先沿CB方向運動到點B，再沿BA方向向終點A運動，以DP，DQ為鄰邊構造PEQD，設點P運動的時間為t秒．

（1）當t=2時，求PD的長；

（2）如圖2，當點Q運動至點B時，連結DE，求證：DE∥AP.

（3）如圖3，連結CD．

①當點E恰好落在△ACD的邊上時，求所有滿足要求的t值；

②記運動過程中PEQD的面積為S，PEQD與△ACD的重疊部分面積為S1，當＜時，請直接寫出t的取值范圍是 ______ ．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）①分三種情況討論：滿足要求的t的值為或或．②當＜時， t的取值范圍是＜t＜．

【解析】（1）如圖1中，作DF⊥CA于F，

當t=2時，AP=2，DF=ADsinA=5×=3，

∵AF=ADcosA=5×=4，

∴PF=4-2=2，

∴PD===．

（2）如圖2中，

在平行四邊形PEQD中，

∵PE∥DQ，

∴PE∥AD，

∵AD=DQ．PE=DQ，

∴PE=AD，

∴四邊形APED是平行四邊形，

∴DE∥AP．

（3）①分三種情況討論：

Ⅰ．當點E在CA上時，

DQ⊥CB（如圖3所示），

∵∠ACB=Rt∠，CD是中線，∴CD=BD，∴CQ=CB=3即：t=

Ⅱ．當點E在CD上，且點Q在CB上時 （如圖4所示），

過點E作EG⊥CA于點G，過點D作DH⊥CB于點H，

易證Rt△PGE≌Rt△PHQ，∴PG=DH=4，

∴CG=4-t，GE=HQ=CQ-CH=2t-3，

∵CD=AD，∴∠DCA=∠DAC

∴在Rt△CEG中，tan∠ECG===，∴t=

Ⅲ．當點E在CD上，且點Q在AB上時（如圖5所示），過點E作EF⊥CA于點F，

∵CD=AD，∴∠CAD=∠ACD．

∵PE∥AD，∴∠CPE=∠CAD=∠ACD，∴PE=CE，

∴PF=PC=，PE=DQ=11-2t，

∴在Rt△PEF中，cos∠EPF===

∴t=

綜上所述，滿足要求的t的值為或或．

②如圖6中，PE交CD于E′，作E′G′⊥AC于G′，EG⊥AC于G．

當△PDE′的面積等于平行四邊形PEDQD的面積的時，PE′：EE′=2：1，

由（Ⅱ）可知CG=4-t，GE=2t-3，

∴PG=8-t-（4-t）=4，

∵E′G′∥EG，

∴===，

∴PG′=，E′G′=（2t-3），CG′=8-t-=-t，

∵tan∠ECG==，

解得t=．

如圖7中，當點Q在AB上時，PE交CD于E′，作E′G′⊥AC于G′．

∵△PDE′的面積等于平行四邊形PEDQD的面積的，

∴PE′：EE′=2：1，

由Ⅲ可知，PG′=PC=4-t，PE′=DQ=（11-2t），

∵cos∠E′PG′==，

∴，

解得t=，

綜上所述，當＜時，請直接寫出t的取值范圍是＜t＜．