Question

【題目】如圖，已知一個拋物線經過A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1）三點．

（1）求這個拋物線的表達式及其頂點D的坐標；

（2）聯結AB、BC、CA，求tan∠ABC的值；

（3）如果點E在該拋物線的對稱軸上，且以點A、B、C、E為頂點的四邊形是梯形，直接寫出點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x+1，頂點D的坐標（﹣，）；（2）tan∠ABC＝；（3）點E的坐標為（﹣，3）或（﹣，2）或（﹣，）

【解析】

（1）設拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，將A（0，1）、B（1，3）、C（﹣1，1）代入，求a、b、c的值，可得結果；

（2）如圖，過點B作BF⊥x軸于F，延長CA交BF于點D，過點A作AM⊥BC于M，通過勾股定理和等腰直角三角形的性質可求AM和BM的長，即可求解；

（3）分三種情況討論，由梯形的性質可求解．

解：（1）設拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0）．

由題意可得：

解得：

∴拋物線的解析式為：y＝x2+x+1，

∵y＝x2+x+1＝，

∴頂點D的坐標（﹣，）；

（2）如圖，過點B作BF⊥x軸于F，延長CA交BF于點D，過點A作AM⊥BC于M，

∴BF＝3，

∵A（0，1），C（﹣1，1），

∴AC∥x軸，

∴CD⊥BF，

∴CD＝BD＝2，AD＝1，CA＝1，

∴BC＝2，∠BCD＝∠CBD＝45°，

∵AM⊥BC，

∴∠MAC＝∠MCA＝45°，

∴CM＝AM，

∴CM＝AM＝，

∴BM＝BC﹣CM＝，

∴tan∠ABC＝＝；

（3）∵A（0，1），B（1，3），C（﹣1，1），

∴直線AC解析式為：y＝1，

直線AB解析式為：y＝2x+1，

直線BC解析式為：y＝x+2，

若BE∥AC，則點E的縱坐標為3，且點E在對稱軸上，

∴點E（﹣，3）；

若CE∥AB，則CE的解析式為；y＝2x+3，

∵點E在對稱軸上，

∴x＝﹣，

∴y＝2，

即點E（﹣，2）；

若AE∥BC，則AE解析式為：y＝x+1，

∵點E在對稱軸上，

∴x＝﹣，

∴y＝，

即點E（﹣，），

綜上所述：點E的坐標為（﹣，3）或（﹣，2）或（﹣，）．