Question

【題目】解決問題時需要思考：是否解決過與其類似的問題.小明從問題1解題思路中獲得啟發從而解決了問題2.

問題1：如圖①，在正方形ABCD中，E、F是BC、CD上兩點，∠EAF＝45°.

求證：∠AEF＝∠AEB.

小明給出的思路為：延長EB到H，滿足BH＝DF，連接AH.請完善小明的證明過程.

問題2：如圖②，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D為AB中點，E、F是AC、BC邊上兩點，∠EDF＝45°．

（1）求點D到EF的距離．

（2）若AE＝a，則S△DEF＝ （用含字母a的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2，（3）a＋－4

【解析】試題分析：問題1：如圖①中，延長EB到H，滿足BH=DF，連接AH，只要證明△AHE≌△AFE，即可推出∠AEF=∠AEB；
問題2：（1）如圖②中，過點D分別向AC、BC、EF作垂線，垂足分別為G、H、M，利用（1）中即可，根據角平分線的性質定理即可解決問題，
（2）在Rt△DEG中，DE=，由S△AED=AEDG=a，△DEF∽△AED，推出，由此即可解決問題；

試題解析：問題1：證明：如圖①中，延長EB到H，滿足BH=DF，連接AH

∵AB=AD，∠ABH=∠D=90°，BH=DF，
∴△ADF≌ABH，
∴∠DAF=∠BAH，AF=AH，
∵∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°，
即∠EAH=∠BAH+∠BAE=45°，
∴∠EAH=∠EAF，
又∵AF=AH，AE=AE，
∴△AHE≌△AFE，
∴∠AEF=∠AEB．
問題2：解：（1）過點D分別向AC、BC、EF作垂線，垂足分別為G、H、M，

∵∠ACB=90°，∴CGDH為矩形，∵AC=BC=4，D為AB中點，
∴DG=DH=BC=2，
∴四邊形CGDH為正方形，
由問題1知∠DEG=∠DEM，
∴DM=DG=2．
（2）在Rt△DEG中，DE=，
∵S△AED=AEDG=a，
∵△DEF∽△AED，
∴，
∴S△DEF=．