Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點A（6，0），B（0，8），點C的坐標為（0，m），過點C作CE⊥AB于點E，點D為x軸上的一動點，連接CD，DE，以CD，DE為邊作CDEF．

（1）當0＜m＜8時，求CE的長（用含m的代數式表示）；
（2）當m=3時，是否存在點D，使CDEF的頂點F恰好落在y軸上？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）點D在整個運動過程中，若存在唯一的位置，使得CDEF為矩形，請求出所有滿足條件的m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（6，0），B（0，8）．

∴OA=6，OB=8．

∴AB=10，

∵∠CEB=∠AOB=90°，

又∵∠OBA=∠EBC，

∴△BCE∽△BAO，

∴ = ，即 = ，

∴CE= ﹣ m

（2）

解：∵m=3，

∴BC=8﹣m=5，CE= ﹣ m=3．

∴BE=4，

∴AE=AB﹣BE=6．

∵點F落在y軸上（如圖2）．

∴DE∥BO，

∴△EDA∽△BOA，

∴ = 即 = ．

∴OD= ，

∴點D的坐標為（ ，0）

（3）

解：取CE的中點P，過P作PG⊥y軸于點G．

則CP= CE= ﹣ m．

（Ⅰ）當m＞0時，

①當0＜m＜8時，如圖3．易證∠GCP=∠BAO，

∴cos∠GCP=cos∠BAO= ，

∴CG=CPcos∠GCP= （ ﹣ m）= ﹣ m．

∴OG=OC+CG=m+ ﹣ m= m+ ．

根據題意得，得：OG=CP，

∴ m+ = ﹣ m，

解得：m= ；

②當m≥8時，OG＞CP，顯然不存在滿足條件的m的值．

（Ⅱ）當m=0時，即點C與原點O重合（如圖4）．

（Ⅲ）當m＜0時，

①當點E與點A重合時，（如圖5），

易證△COA∽△AOB，

∴ = ，即 = ，

解得：m=﹣ ．

②當點E與點A不重合時，（如圖6）．

OG=OC﹣CG=﹣m﹣（ ﹣ m）

=﹣ m﹣ ．

由題意得：OG=CP，

∴﹣ m﹣ = ﹣ m．

解得m=﹣ ．

綜上所述，m的值是 或0或﹣ 或﹣ ．

【解析】（1）首先證明△BCE∽△BAO，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求得；（2）證明△EDA∽△BOA，根據相似三角形的對應邊的比相等即可求得；（3）分m＞0，m=0和m＜0三種情況進行討論，當m=0時，一定成立，當m＞0時，分0＜m＜8和m＞8兩種情況，利用三角函數的定義即可求解．當m＜0時，分點E與點A重合和點E與點A不重合時，兩種情況進行討論．