Question

【題目】如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為矩形，A（10，0），C（0，8），點P在邊BC上以每秒1個單位長的速度由點C向點B運動，同時點Q在邊AB上以每秒a個單位長的速度由點A向點B運動，運動時間為t秒（t＞0）．

（1）若反比例函數y= 圖象經過P點、Q點，求a的值；
（2）若OQ垂直平分AP，求a的值；
（3）當Q點運動到AB中點時，是否存在a使△OPQ為直角三角形？若存在，求出a的值，若不存在請說明理由；

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（10，0），C（0，8），點P在邊BC上以每秒1個單位長的速度由點C向點B運動，同時點Q在邊AB上以每秒a個單位長的速度由點A向點B運動，

∴P（t，8），Q（10，at），

∵反比例函數y= 圖象經過P點、Q點，

∴8t=10at，解得a=

（2）

解：∵OQ垂直平分AP，

∴OP=OA，PQ=QA，

∴ =10，解得t=6，

∴Q（10，6a），P（6，8），

∵PQ=QA，

∴（10﹣6）2+（6a﹣8）2=（6a）2，解得a=

（3）

解：如圖，

∵Q為AB的中點，

∴Q（10，4），P（t，8）．

當∠OPQ=90°時，OP2+PQ2=OQ2，即t2+82+（10﹣t）2+42=102+42，整理得，t2﹣10t+32=0，

∵△=（﹣10）2﹣4×32=100﹣128=﹣28＜0，

∴此方程無解，即此種情況不存在；

當∠POQ=90°時，OQP2+PQ2=OP2，即102+42+（10﹣t）2+42=t2+82，整理得，﹣20t=﹣168，解得t= ，

∵AQ=4，

∴at=4，即 a=4，解得a= ．

【解析】（1）先用t表示出P、Q兩點的坐標，再由反比例函數圖象上點的坐標特點即可得出結論；（2）先根據OQ垂直平分AP得出OP=OA，求出t的值，再由PQ=QA即可得出a的值；（3）分∠OPQ=90°與∠POQ=90°兩種情況進行分類討論．
【考點精析】本題主要考查了反比例函數的圖象和反比例函數的性質的相關知識點，需要掌握反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．