Question

【題目】如圖1是實驗室中的一種擺動裝置，BC在地面上，支架ABC是底邊為BC的等腰直角三角形，擺動臂AD可繞點A旋轉，擺動臂DM可繞點D旋轉，AD＝30，DM＝10．

（1）在旋轉過程中，

①當A，D，M三點在同一直線上時，求AM的長．

②當A，D，M三點為同一直角三角形的頂點時，求AM的長．

（2）若擺動臂AD順時針旋轉90°，點D的位置由△ABC外的點D1轉到其內的點D2處，連結D1D2，如圖2，此時∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的長．

Answer 1

【答案】（1）①20；②20或10；（2）30

【解析】

（1）①根據D在AM上還是AM的延長線上分兩種情況求解即可.

②由圖可知∠MAD不能為直角，當∠AMD或∠ADM=90為直角時，分別應用勾股定理解答即可.

（2）連接CD，先用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性質證明BD2= CD1即可.

（1）①AM＝AD+DM＝40，或AM＝AD﹣DM＝20．

②顯然∠MAD不能為直角．

當∠AMD為直角時，AM2＝AD2﹣DM2＝302﹣102＝800，

∴AM＝20或（﹣20舍棄）．

當∠ADM＝90°時，AM2＝AD2+DM2＝302+102＝1000，

∴AM＝10或（﹣10舍棄）．

綜上所述，滿足條件的AM的值為20或10．

（2）如圖2中，連接CD．

由題意：∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，

∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30，

∵∠AD2C＝135°，

∴∠CD2D1＝90°，

∴CD1＝＝30，

∵∠BAC＝∠A1AD2＝90°，

∴∠BAC﹣∠CAD2＝∠D2AD1﹣∠CAD2，

∴∠BAD2＝∠CAD1，

∵AB＝AC，AD2＝AD1，

∴△BAD2≌△CAD1（SAS），

∴BD2＝CD1＝30．