Question

【題目】如圖：AB是⊙O的直徑，C、G是⊙O上兩點，且點C是劣弧AG的中點，過點C的直線CD⊥BG的延長線于點D，交BA的延長線于點E，連接BC，交OD于點F．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若ED＝DB，求證：3OF＝2DF；

（3）在（2）的條件下，連接AD，若CD＝3，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析（3）

【解析】

（1）如圖1，連接，，，由圓周角定理得到，根據同圓的半徑相等得到，于是得到，等量代換得到，根據平行線的判定得到，即可得到結論；

（2）如圖1，根據三角函數的定義得到，求得，得到，根據相似三角形的判定和性質定理即可得到結論；

（3）如圖2，過作于，解直角三角形即可得到結論．

解：（1）證明：如圖1，連接OC，AC，CG，

∵AC＝CG，

，

∴∠ABC＝∠CBG，

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠OCB＝∠CBG，

∴OC∥BG，

∵CD⊥BG，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：如圖1，

∵CD⊥BG，

∴∠BDE＝90°，

，

，

∴∠E＝30°，

∴∠EBD＝∠COE＝60°，

，

∴OC＝OA＝AE，

∵OC∥BD，

∴△EOC∽△EBD，

，

∵OC∥BD，

∴△COF∽△BDF，

，

∴3OF＝2DF；

（3）解：如圖2，過A作AH⊥DE于H，

∵∠E＝30°

∴∠EBD＝60°，

，

∵CD＝3，

，，，

，

，

∴EH＝3，

∴DH＝9﹣3＝6，

在中，．