Question

【題目】已知：如圖，一次函數y=－2x與二次函數y＝ax2＋2ax＋c的圖像交于A、B兩點(點A在點B的右側)，與其對稱軸交于點C．

（1）求點C的坐標；

（2）設二次函數圖像的頂點為D，點C與點D關于 x軸對稱，且△ACD的面積等于2.

① 求二次函數的解析式；

② 在該二次函數圖像的對稱軸上求一點P（寫出其坐標），使△PBC與△ACD相似.

Answer 1

【答案】（1）C點的坐標為（－1，2）；

（2）①y＝2x2＋4x； ②點P的坐標為（－1， 10），（－1， ）

【解析】（1）由拋物線的對稱軸方程可知x=-1，將x=-1代入y=－2x得：y=2，從而可知點C的坐標為（-1，2）；

（2）①根據關于x軸對稱的坐標特點可知D（-1，-2)，從而得到CD=4，然后三角形的面積公式可求得CD邊上的高，故此可知得到點A的坐標為（0，0），設拋物線的解析式y＝a(x+1)2－2過點A，即可得：a=2，從而得出拋物線的解析式；②利用兩個三角形相似求出P點的坐標.

解：（1）∵y＝ax2＋2ax＋c＝a(x＋1)2＋c－a，∴它的對稱軸為x＝－1．

又∵一次函數y=－2x與對稱軸交于點C，∴y＝2．

∴C點的坐標為（－1，2）．

（2）①∵點C與點D 關于x軸對稱，∴點D的坐標為（－1，－2）．

∴CD=4，∵△ACD的面積等于2．

∴點A到CD的距離為1，C點與原點重合，點A的坐標為（0，0）

設二次函數為y＝a(x+1)2－2過點A，則a＝2,

∴y＝2x2＋4x．

②交點B的坐標為（－3，6）．

當△PBD∽△CAD，點P的坐標為（－1， 10），

當△PBD∽△ACD，點P的坐標為（－1，），

∴點P的坐標為（－1， 10），（－1，）.

“點睛”本題主要考查的是一次函數、二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了二次函數的圖象的性質、關于x軸對稱點的坐標特點、利用相似三角形的性質求出點P的坐標是解題的關鍵.