Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，BC=2AB，對角線相交于O，過C點作CE⊥BD交BD于E點，H為BC中點，連接AH交BD于G點，交EC的延長線于F點，下列5個結論：①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD=S四邊形GHCE ， ⑤CF=BD．正確的有（ ）個．
A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①在△BCE中，∵CE⊥BD，H為BC中點， ∴BC=2EH，又BC=2AB，
∴EH=AB，①正確；
②由①可知，BH=HE∴∠EBH=∠BEH，
又∠ABG+∠EBH=∠BEH+∠HEC=90°，
∴∠ABG=∠HEC，②正確；
③由AB=BH，∠ABH=90°，得∠BAG=45°，
同理：∠DHC=45°，∴∠EHC＞∠DHC=45°，
∴△ABG≌△HEC，③錯誤；
④作AM⊥BD，則AM=CE，△AMD≌△CEB，
∵AD∥BC，
∴△ADG∽△HGB，
∴ =2，
即△ABG的面積等于△BGH的面積的2倍，
根據已知不能推出△AMG的面積等于△ABG的面積的一半，
即S△GAD≠S四邊形GHCE ，
∴④錯誤
⑤∠ECH=∠CHF+∠F=45°+∠F，
又∠ECH=∠CDE=∠BAO，∠BAO=∠BAH+∠HAC，
∴∠F=∠HAC，
∴CF=BD，⑤正確．
正確的有3個．
故選C．
根據BC=2AB，H為BC中點，可得△ABH為等腰直角三角形，HE=BH=HC，可得△CEH為等腰三角形，又∠BCD=90°，CE⊥BD，利用互余關系得出角的相等關系，根據基本圖形判斷全等三角形，特殊三角形進行判斷．