Question

【題目】△ABC 中，AB＝AC，過其中一個頂點的直線可以把這個三角形分成另外兩個等腰三角形，則∠BAC（ ）

A. 36°，90°，， 108°B. 36°，72°，，90°

C. 90°，72°，108°，D. 36°，90°，108°，

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用三角形內角和定理求解．由于本題中經過等腰三角形頂點的直線沒有明確是經過頂角的頂點還是底角的頂點，因此本題要分情況討論．

①如圖1，

當過頂角的頂點的直線把它分成了兩個等腰三角形，則AB=AC，AD=CD=BD，
設∠B=x°，
則∠BAD=∠B=x°，∠C=∠B=x°，
∴∠CAD=∠C=x°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
則頂角是90°；
②如圖2，

AB=AC=CD，BD=AD，
設∠C=x°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=x°，
∵BD=AD，
∴∠BAD=∠B=x°，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=2x°，
∴∠BAC=3x°，
∴x+x+3x=180，x=36°，則頂角是108°．
③如圖3，

當過底角的角平分線把它分成了兩個等腰三角形，則有AB=AC，BC=BD=AD，
設∠BAC=x°，
∵BD=AD，
∴∠ABD=∠BAC=x°，
∴∠CDB=∠ABD+∠BAC=2x°，
∵BC=BD，
∴∠C=∠CDB=2x°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2x°，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180，
x=36，
則頂角是36°．
④如圖4，

當∠BAC=x°，∠ABC=∠ACB=3x°時，也符合，
AD=BD，BC=DC，
∠BAC=∠ABD=x，∠DBC=∠BDC=2x，
則x+3x+3x=180°，
x=()°

則∠BAC=90°或108°或36°或（）°．
故選：A．