Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動點(diǎn)．

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）是否存在點(diǎn)P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）動點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點(diǎn)坐標(biāo)和△PBC的最大面積．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4；（2）存在滿足條件的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為（ ，﹣2）（3）P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣6）時，△PBC的最大面積為8．

【解析】

試題分析：（1）由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）由題意可知點(diǎn)P在線段OC的垂直平分線上，則可求得P點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）過P作PE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，用P點(diǎn)坐標(biāo)可表示出PF的長，則可表示出△PBC的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得△PBC面積的最大值及P點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：（1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得，

∴拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4；

（2）作OC的垂直平分線DP，交OC于點(diǎn)D，交BC下方拋物線于點(diǎn)P，如圖1，

∴PO=PD，此時P點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣2，

代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=，

∴存在滿足條件的P點(diǎn)，其坐標(biāo)為（，﹣2）；

（3）∵點(diǎn)P在拋物線上，∴可設(shè)P（t，t2﹣3t﹣4），

過P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)F，如圖2，

∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直線BC解析式為y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），

∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，

∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PFOE+PFBE=PF（OE+BE）=PFOB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，∴當(dāng)t=2時，S△PBC最大值為8，此時t2﹣3t﹣4=﹣6，

∴當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣6）時，△PBC的最大面積為8．