Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數y＝﹣x+3的圖象與x軸交于點A，與y軸交于B點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過A，B兩點，在第一象限的拋物線上取一點D，過點D作DC⊥x軸于點C，交直線AB于點E．

（1）求拋物線的函數表達式

（2）是否存在點D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，請求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，F是第一象限內拋物線上的動點（不與點D重合），點G是線段AB上的動點．連接DF，FG，當四邊形DEGF是平行四邊形且周長最大時，請直接寫出點G的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+3；（2）存在．點D的坐標為（，3）或（，）；（3）G（，）．

【解析】

（1）根據，求出A，B的坐標，再代入拋物線解析式中即可求得拋物線解析式；

（2）△BDE和△ACE相似，要分兩種情況進行討論：①△BDE∽△ACE，求得，

；②△DBE∽△ACE，求得，；

（3）由DEGF是平行四邊形，可得DE∥FG，DE=FG，設，，，，根據平行四邊形周長公式可得：DEGF周長=，由此可求得點G的坐標．

解：（1）在中，令，得，令，得，

，，

將，分別代入拋物線中，得：，解得：，

拋物線的函數表達式為：．

（2）存在．如圖1，過點作于，設，則，，；

，，，，

和相似，

或

①當時，，

，即：

，解得：（舍去），（舍去），，

，

②當時，

，

，即：

，解得：（舍，（舍，，

，；

綜上所述，點的坐標為，或，；

（3）如圖3，四邊形是平行四邊形

，

設，，，，

則：，，

，即：，

，即：

過點作于，則

，即：

，即：

周長

，

當時，周長最大值，

，．