Question

【題目】如圖，點P是邊長為2的正方形ABCD的對角線BD上的動點，過點P分別作PE⊥BC于點E，PF⊥DC于點F，連接AP并延長，交射線BC于點H，交射線DC于點M，連接EF交AH于點G，當點P在BD上運動時（不包括B、D兩點），以下結論：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP2=PMPH； ④EF的最小值是．其中正確的是________．（把你認為正確結論的序號都填上）

Answer 1

【答案】②③④

【解析】

①可用特殊值法證明，當為的中點時，，可見.

②可連接，交于點，先根據證明，得到，根據矩形的性質可得，故，又因為，故，故.

③先證明，得到，再根據，得到，代換可得.

④根據，可知當取最小值時，也取最小值，根據點到直線的距離也就是垂線段最短可得，當時，取最小值，再通過計算可得.

解：

①錯誤.當為的中點時，，可見；

②正確.

如圖，連接，交于點，

，

，，，

四邊形為矩形，

，

，

，

，

，

，

.

③正確.

，

，

，

，

，

又，

，

，

，

，

.

④正確.

且四邊形為矩形，

，

當時，取最小值，

此時，

故的最小值為.

故答案為：②③④.