Question

【題目】(1)（問題發現）如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D為BC的中點，以CD為一邊作正方形CDEF，點E恰好與點A重合，請判斷線段BE與AF的數量關系并寫出推斷過程；

(2)（拓展研究）在(1)的條件下，如果正方形CDEF繞點C旋轉，連接BE，CE，AF，線段BE與AF的數量關系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；

(3)（結論運用）在(1)(2)的條件下，若△ABC的面積為2，當正方形CDEF旋轉到B，E，F三點在同一直線上時，請直接寫出線段AF的長．

Answer 1

【答案】（1）BE＝AF．見解析；（2）無變化．證明見解析；（3）線段AF的長為或．

【解析】

（1）首先證明△ADB是等腰直角三角形，推出AB=AD，再證明AF=AD即可解決問題；
（2）先利用三角函數得出，，推出，夾角相等即可得出△ACF∽△BCE，進而得出結論；

(3)分兩種情況計算，當點E在線段BF上時，如圖2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=，BF=，即可得出BE=-，借助（2）得出的結論，當點E在線段BF的延長線上，同前一種情況一樣即可得出結論．

（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，

根據勾股定理得，BC＝＝AB，

又∵點D為BC的中點，

∴AD＝BC＝AB，

∵四邊形CDEF是正方形，

∴AF＝EF＝AD＝AB＝BE，

∴BE＝AF．

（2）無變化．

證明：如圖2，在Rt△ABC中，∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∴sin∠ABC＝＝，

在正方形CDEF中，∠FEC＝∠FED＝45°，

在Rt△CEF中，sin∠FEC＝，

∴，

∵∠FCE＝∠ACB＝45°，

∴∠FCE－∠ACE＝∠ACB－∠ACE，

∴∠FCA＝∠ECB，

∴△ACF∽△BCE，

∴，

∴BE＝AF，

∴線段BE與AF的數量關系無變化；

（3）當點E在線段AF上時，如圖2，
由（1）知，CF=EF=CD=，
在Rt△BCF中，CF=，BC=2，
根據勾股定理得，BF=，
∴BE=BF-EF=-，
由（2）知，BE=AF，
∴AF=-1，
當點E在線段BF的延長線上時，如圖3，

在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴sin∠ABC=，
在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC=，
∴，
∵∠FCE=∠ACB=45°，
∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，
∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，
∴，
∴BE=AF，
由（1）知，CF=EF=CD=，
在Rt△BCF中，CF=，BC=2，
根據勾股定理得，BF=，
∴BE=BF+EF=+，
由（2）知，BE=AF，
∴AF=+1．
即：當正方形CDEF旋轉到B，E，F三點共線時候，線段AF的長為-1或+1．