Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，點G是線段AB上一點，連接CG、DG，滿足CG＝CD．

（1）如圖1，過點G作GH⊥CD于點H，若AB＝7，GH＝2，求DG；

（2）如圖2，若∠DAB＝60°，∠DAB的角平分線交CD于點E，過點E作EF∥AD，滿足EF+AG＝AD，連接DF、CF，求證：∠DCF＝∠GCF．

Answer 1

【答案】（1）DG＝2；（2）見解析.

【解析】

（1）由平行四邊形的性質和已知條件得出CG=CD=7，由勾股定理得出CH==5，得出DH=CD-CH=2，再由勾股定理即可得出結果；
（2）延長EF交AB于H，連接DH、FG，先證明四邊形ADEH是平行四邊形，再由平行線的性質和角平分線證出∠AED=∠DAE，得出AD=ED，證出四邊形ADEH是菱形，得出AD=ED=EH=AH，得出△ADH、△DEH是等邊三角形，得出∠DHA=∠EDH=∠DEH=60°，DH=AD=DE，證出EF=GH，證明△DEF≌△DHG得出∠EDF=∠HDG，DF=DG，證出∠GDF=60°，得出△GDF是等邊三角形，得出DF=GF，再證明△CDF≌△CGF，即可得出∠DCF=∠GCF．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD＝AB＝7，

∵CG＝CD＝7，GH＝2，BH⊥CD，

∴CH＝＝＝5，

∴DH＝CD﹣CH＝2，

∴DG＝＝2；

（2）延長EF交AB于H，連接DH、FG，如圖所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠AED＝∠EAB，

∵EF∥AD，

∴四邊形ADEH是平行四邊形，

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE＝∠BAE，

∴∠AED＝∠DAE，

∴AD＝ED，

∴四邊形ADEH是菱形，

∴AD＝ED＝EH＝AH，

∵∠DAB＝60°，

∴△ADH、△DEH是等邊三角形，

∴∠DHA＝∠EDH＝∠DEH＝60°，DH＝AD＝DE，

∵EF+AG＝AD＝AH＝AG+GH，

∴EF＝GH，

在△DEF和△DHG中，

，

∴△DEF≌△DHG（SAS），

∴∠EDF＝∠HDG，DF＝DG，

∴∠HDG+∠FDH＝∠EDF+∠FDH＝∠EDH＝60°，即∠GDF＝60°，

∴△GDF是等邊三角形，

∴DF＝GF，

在△CDF和△CGF中，

，

∴△CDF≌△CGF（SSS），

∴∠DCF＝∠GCF．