Question

【題目】如圖，已知tan∠EOF=2，點C在射線OF上，OC=12．點M是∠EOF內一點，MC⊥OF于點C，MC=4．在射線CF上取一點A，連結AM并延長交射線OE于點B，作BD⊥OF于點D．

（1）當AC的長度為多少時，△AMC和△BOD相似；

（2）當點M恰好是線段AB中點時，試判斷△AOB的形狀，并說明理由；

（3）連結BC．當S△AMC=S△BOC時，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）2或8；（2）直角三角形，理由見解析；（3）18；

【解析】

試題分析：（1）由于∠MCA=∠BDO=Rt∠，所以△AMC和△BOD相似時分兩種情況：①△AMC∽△BOD；②△AMC∽△OBD．則兩種情況都可以根據相似三角形對應邊的比相等及tan∠EOF=2列出關于AC的方程，解方程即可求出AC的長度；

（2）先由MC∥BD，得出△AMC∽△ABD，根據相似三角形對應邊的比相等及三角形中位線的性質求出BD=2MC=8，OD=4，CD=8，AC=CD=8，再利用SAS證明△AMC≌△BOD，得到∠CAM=∠DBO，根據平行線的性質及三角形內角和定理求出∠ABO=90°，進而得出△ABO為直角三角形；

（3）設OD=a，根據tan∠EOF=2得出BD=2a，由三角形的面積公式求出S△AMC=2AC，S△BOC=12a，根據S△AMC=S△BOC，得到AC=6a．由△AMC∽△ABD，根據相似三角形對應邊的比相等列出關于a的方程，解方程求出a的值，進而得出AC的長．

解：（1）∵∠MCA=∠BDO=Rt∠，

∴△AMC和△BOD中，C與D是對應點，

∴△AMC和△BOD相似時分兩種情況：

①當△AMC∽△BOD時，=tan∠EOF=2，

∵MC=4，

∴=2，

解得AC=8；

②當△AMC∽△OBD時，=tan∠EOF=2，

∵MC=4，

∴=2，

解得AC=2．

故當AC的長度為2或8時，△AMC和△BOD相似；

（2）△ABO為直角三角形．理由如下：

∵MC∥BD，

∴△AMC∽△ABD，

∴，∠AMC=∠ABD，

∵M為AB中點，

∴C為AD中點，BD=2MC=8．

∵tan∠EOF=2，

∴OD=4，

∴CD=OC﹣OD=8，

∴AC=CD=8．

在△AMC與△BOD中，

，

∴△AMC≌△BOD（SAS），

∴∠CAM=∠DBO，

∴∠ABO=∠ABD+∠DBO=∠AMC+∠CAM=90°，

∴△ABO為直角三角形；

（3）連結BC，設OD=a，則BD=2a．

∵S△AMC=S△BOC，S△AMC=ACMC=2AC，S△BOC=OCBD=12a，

∴2AC=12a，

∴AC=6a．

∵△AMC∽△ABD，

∴，即，

解得a1=3，a2=﹣（舍去），

∴AC=6×3=18．