Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點A(0,3)與點B關于x軸對稱，點C(n,0)為x軸的正半軸上一動點．以AC為邊作等腰直角三角形ACD，∠ACD=90°，點D在第一象限內．連接BD，交x軸于點F．

(1)如果∠OAC=38°,求∠DCF的度數；

(2)用含n的式子表示點D的坐標；

(3)在點C運動的過程中，判斷OF的長是否發生變化？若不變求出其值，若變化請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）38°；（2）點D的坐標（n+3，n）；（3）OF的長不會變化，值為3．

【解析】

（1）根據同角的余角相等可得∠DCF =∠OAC，進而可得結果；

（2）作DH⊥x軸于點H，如圖1，則可根據AAS證明△AOC≌△CHD，于是可得OC=DH，AO=CH，進而可得結果；

（3）方法一：由軸對稱的性質可得AC=BC，于是可得AC=BC=DC，進一步即得∠BAC =∠ABC，∠CBD =∠CDB，而∠ACB+∠DCB =270°，則可根據三角形的內角和定理推出∠ABC+∠CBD =45°，進一步即得△OBF是等腰直角三角形，于是可得OB=OF，進而可得結論；

方法2：如圖2，連接AF交CD于點M，由軸對稱的性質可得AC=BC，AF=BF，進一步即可根據等腰三角形的性質以及角的和差得出∠CAF=∠CBF，易得BC=DC，則有∠CBF=∠CDF，可得∠CAF=∠CDF，然后根據三角形的內角和定理可得∠AFD=∠ACD=90°，即得△AFB是等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角形的性質可推出OF=OA，問題即得解決．

解：(1)∵∠AOC=90°，∴∠OAC+∠ACO =90°．

∵∠ACD=90°，∴∠DCF+∠ACO =90°，

∴∠DCF =∠OAC，

∵∠OAC=38°，∴∠DCF=38°；

(2)過點D作DH⊥x軸于點H，如圖1，則∠AOC =∠CHD=90°，

∵△ACD是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴AC=CD，

又∵∠OAC=∠DCF ，

∴△AOC≌△CHD(AAS)，

∴OC=DH=n，AO=CH=3，

∴點D的坐標為（n+3，n）；

(3)不會變化．

方法一：∵點A(0，3)與點B關于x軸對稱，∴AO=BO=3，AC=BC，∴∠BAC =∠ABC，

又∵AC=CD，∴BC=CD，∴∠CBD =∠CDB，

∵∠ACD=90°，∴∠ACB+∠DCB =270°，

∴∠BAC +∠ABC+∠CBD +∠CDB=90°，

∴∠ABC+∠CBD =45°，

∵∠BOF=90°，∴∠OFB=45°，

∴∠OBF =∠OFB=45°，

∴OB=OF=3，即OF的長不會變化；

方法2：如圖2，連接AF交CD于點M，

∵點A與點B關于x軸對稱，∴AC=BC，AF=BF，

∴∠OAC=∠OBC，∠OAF=∠OBF，∴∠OAF∠OAC=∠OBF∠OBC，即∠CAF=∠CBF，

∵AC=CD，AC=BC，∴BC=CD，

∴∠CBF=∠CDF，∴∠CAF=∠CDF，

又∵∠AMC=∠DMF，∴∠AFD=∠ACD=90°，

∴∠AFB=90°，

∴∠AFO=∠OFB=45°，∴∠AFO=∠OAF=45°，

∴OF=OA=3，即OF的長不會變化．