Question

【題目】已知平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)，記拋物線的頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸，垂足為．

（1）若軸，，求的值；

（2）當(dāng)，拋物線與軸交于時(shí)，設(shè)射線與直線相交于點(diǎn)，求的值；

（3）延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，求證：四邊形是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）先根據(jù)軸求出直線的函數(shù)解析式，再利用拋物線的軸對(duì)稱性，求得A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入計(jì)算即可；

（2）先求出直線與拋物線的函數(shù)解析式，進(jìn)而求得交點(diǎn)A、B以及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而求得BD的函數(shù)解析式，然后求出點(diǎn)P、C的坐標(biāo)，便可計(jì)算得到結(jié)論；

（3）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，得到所在直線解析式，求得F的坐標(biāo)，再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到，進(jìn)而得證

解：（1）∵軸，∴，即直線解析式為，

∵且拋物線對(duì)稱軸為，

∴，．

∴點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為

代入求解得．

（2）解：當(dāng)時(shí)，直線解析式為；拋物線與軸交于時(shí)，，即拋物線解析式為．

∴直線與拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)為，．

又拋物線頂點(diǎn)，

設(shè)直線解析式為，將，代入

解出直線解析式．

于是把代入中，可求得點(diǎn)坐標(biāo)為

于是把x=1代入中，可求得點(diǎn)坐標(biāo)為，

結(jié)合，，，，

可得的值為．

（3）解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，所在直線解析式為：．

將點(diǎn)代入解析式中得．

∴：．

∴令，可得點(diǎn)坐標(biāo)為．

∵，為直線與拋物線：的交點(diǎn)，

∴．

設(shè)，是方程的兩根，

∴，．

∴．

∴，

又∵，

∴四邊形是平行四邊形．