Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系中，點坐標為，點是軸正半軸上一點，且，點是軸上位于點右側的一個動點，設點的坐標為．

（1）點的坐標為（ ）；

（2）當是等腰三角形時，求點的坐標；

（3）如圖2，過點作交線段于點，連接，若點關于直線的對稱點為，當點恰好落在直線上時， ．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或；（3）

【解析】

（1）利用勾股定理求出OA即可；

（2）分三種情況討論：①當時，②當時，③當時，分別進行計算即可；

（3）連接OA’， OA與PE交于點C，易得△OEA≌△OEA’，證明∠OA’E＝∠OPC，求出OP＝OA’＝OA＝4，易得∠BEO＝∠PEO，作OG⊥EB于點G，OH⊥EP于點H，可得OG＝OH，然后根據底邊上高相等的情況下，面積比等于底邊之比求出，再根據勾股定理構建方程即可求出BE.

解：（1）∵，

∴OB=3，

∴OA=，

∴；

（2）當為等腰三角形時，分三種情況討論：

①當時，

∵，

∴此時；

②當時，

∵，

∴此時；

③當時，設P點坐標為（m，0），

則：，

解得：，

∴此時；

（3）如圖，連接OA’， OA與PE交于點C，

∵點關于直線的對稱點在直線上，

∴△OEA≌△OEA’，

∴∠OAE＝∠OA’E，OA＝OA’， ∠AEO＝∠A’EO，

∵∠AEC＝∠COP＝90°，∠ACE＝∠OCP，

∴∠OAE＝∠OPC，

∴∠OA’E＝∠OPC，

∴OP＝OA’，

∴OP＝OA＝4，

∴BP＝7，

∵∠AEO＝∠A’EO，∠AEC＝∠A’EB，

∴∠BEO＝∠PEO，

作OG⊥EB于點G，OH⊥EP于點H，

則OG＝OH，

∵，

∴，

設BE=3x，則EP=4x，

∵BE2+EP2=BP2，

∴，

解得：，

∴.