Question

【題目】如圖，平行四邊形．

（1）如圖，點在延長線上，，求證：點為中點．

（2）如圖，點在中點，是延長線上一點，且，求證：．

（3）在（2）的條件下，若的延長線與交于點，試判斷四邊形是否為平行四邊形？并證明你的結論（先補全圖形再解答）．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）四邊形ACPE是平行四邊形，補圖與證明見詳解．

【解析】

（1）先由平行四邊形ABCD可得AD∥BC，AD＝BC，再證四邊形BDEC為平行四邊形可得BC＝DE，再等量代換即可得證；

（2）連接CE，根據三線合一可證得∠AEC＝90°，結合∠DEF＝90°，可得∠AED＝∠CEF，根據∠ACB＝90°，E為AB中點可得CE＝AE，再結合∠DAE＝∠ECF＝135°即可證得△DAE≌△ECF進而得證；

（3）四邊形ACPE是平行四邊形，理由如下：先證得∠CEB＝∠EBP＝∠ECP＝90°可得矩形BECP，進而得CP＝BE等量代換得AE＝CP，再結合AE∥CP即可得證．

證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∵AD∥BC，CE∥BD，

∴四邊形BDEC為平行四邊形，

∴BC＝DE，

又∵AD＝BC，

∴AD＝ DE，

∴點D為AE中點．

（2）如圖，連接CE，

∵AD⊥AC，AD∥BC，

∴∠ACB＝∠DAC＝90°，

∵AD＝BC，AD＝AC，

∴BC＝AC，

∵BC＝AC，點E為AB中點，

∴CE⊥AB，

∴∠AEC＝∠BEC＝90°，

∴∠AED＋∠DEC＝90°，

∵ED⊥EF，

∴∠CEF＋∠DEC＝∠DEF＝90°，

∴∠CEF＝∠AED，

∵∠ACB＝90°，BC＝AC，

∴∠CAB＝∠CBA＝45°，

∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAB＝135°，

∵∠ACB＝90°，點E為AB中點，

∴CE＝AE＝AB，

∴∠ACE＝∠CAB＝45°，

∴∠FCE＝180°－∠ACE＝135°，

∴∠FCE＝∠DAE，

在△DAE和△FCE中，

，

∴△DAE≌△FCE（ASA），

∴DE＝EF．

（3）如圖，

四邊形ACPE是平行四邊形，理由如下：

∵△DAE≌△FCE，

∴AD＝CF，

∵AD＝BC，

∴BC＝CF，

又∵∠FCB＝180°－∠ACB＝90°，

∴∠CBF＝∠CFB＝45°，

∵∠CBA＝45°，

∴∠EBF＝∠CBF＋∠CBA＝90°，

∵AB∥CD，∠BEC＝90°，

∴∠ECP＝180°－∠BEC＝90°，

∴∠ECP＝∠BEC＝∠EBF＝90°，

∴四邊形BECP為矩形，

∴BE＝CP，

又∵AE＝BE，

∴AE＝CP，

∵AE＝CP，AE∥CP，

∴四邊形ACPE是平行四邊形．