Question

【題目】解答題
（1）如圖1，已知△ABC，以AB，AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連結BE，CD，請你完成圖形（尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并證明：BE=CD；

（2）如圖2，利用（1）中的方法解決如下問題：在四邊形ABCD中，AD=3，CD=2，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的長．

（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠CAB=90°，∠ADC=∠ACB=α，tanα= ，CD=5，AD=12，求BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1，分別以點A、B為圓心，以AB為半徑畫弧，交于點D，連接AD、BD，再分別以A、C為圓心，以AC為半徑畫弧，交于點E，連接AE、CE，則△ABD、△ACE就是所求作的等邊三角形；

證明：如圖1，∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，

∴∠DAC=∠BAE，

∴△DAC≌△BAE（SAS），

∴BE=CD

（2）

解：如圖2，過A作AE⊥AD，使AD=AE=3，連接DE、CE，

由勾股定理得：DE= =3 ，

∴∠EDA=45°，

∵∠ADC=45°，

∴∠EDC=∠EDA+∠ADC=90°，

∵∠ACB=∠ABC=45°，

∴∠CAB=90°，

∴∠CAB+∠DAC=∠EAD+∠DAC，

即∠EAC=∠DAB，

∵AE=AD，AC=AB，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴EC=BD，

在Rt△DCE中，EC= = = ，

∴BD=EC=

（3）

解：如圖3，作直角三角形DAE，使得∠DAE=90°，

∠EDA=∠ABC，連接EC，

容易得到△DAE∽△BAC，

∴ ，即 ，

∵∠DAE=∠BAC=90°，

∴∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即∠EAC=∠DAB，

∴△EAC∽△DAB，

∴ ，

在△DCE中，∠ADC=∠ACB，

∠EDA=∠ABC，

∴∠EDC=90°，

∵ ，AD=12，

∴AE=9，∠DAE=90°，

∴DE= =15，

CE= =5 ，

由△EAC∽△DAB，

∴

BD= ．

【解析】（1）作圖：分別以點A、B為圓心，以AB為半徑畫弧，交于點D，連接AD、BD；再分別以A、C為圓心，以AC為半徑畫弧，交于E，連接AE、CE，則△ABD、△ACE就是所求作的等邊三角形；
利用等邊三角形的性質證明△DAC≌△BAE可以得出結論；（2）如圖2，作輔助線后，證明△DAB≌△EAC得：EC=BD，在Rt△DCE中，利用勾股定理求EC的長，則BD=EC= ；（3）如圖3，構建直角△DAE，根據同角的三角函數求AE和DE的長，從而可以得到EC的長，利用三角形相似可以得BD的長．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用相似三角形的應用的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．