Question

【題目】韋達定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根分別為x1、x2 ， 則x1+x2=﹣ ， x1x2= ， 閱讀下面應用韋達定理的過程：

若一元二次方程﹣2x2+4x+1=0的兩根分別為x1、x2 ， 求x12+x22的值．

解：該一元二次方程的△=b2﹣4ac=42﹣4×（﹣2）×1=24＞0

由韋達定理可得，x1+x2=﹣=﹣=2，x1x2===﹣

x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2

=22﹣2×（﹣）

=5

然后解答下列問題：

（1）設一元二次方程2x2+3x﹣1=0的兩根分別為x1，x2， 不解方程，求x12+x22的值；

（2）若關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x+（k﹣1）2=0的兩根分別為α，β，且α2+β2=4，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）x12+x22=；（2）k的值為﹣1．

【解析】

（1）先根據根與系數的關系得到x1+x2=﹣， x1x2=﹣,再利用完全平方公式變形得到x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2，然后利用整體代入的方法計算即可；
（2）根據一元二次方程（k-1）x2+（k2-1）x+（k-1）2=0的兩根分別為α，β，求出兩根之積和兩根之和的關于k的表達式，再將α2+β2=4變形，將表達式代入變形后的等式，解方程即可．

解：（1）∵一元二次方程的△=b2﹣4ac=32﹣4×2×（﹣1）=17＞0，

由根與系數的關系得：x1+x2=﹣， x1x2=﹣，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==；

（2）由根與系數的關系知：=﹣k﹣1，=k﹣1，

α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（k+1）2﹣2（k﹣1）=k2+3

∴k2+3=4，

∴k=±1，

∵k﹣1≠0

∴k≠1，

∴

將代入原方程：﹣2x2+4=0，

△=32＞0，

∴成立，

∴k的值為．