Question

【題目】【本小題滿分11分】如圖，已知拋物線的頂點D的坐標為（1，），且與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，A點的坐標為（4，0）．P點是拋物線上的一個動點，且橫坐標為m．

（l）求拋物線所對應的二次函數的表達式；

（2）若動點P滿足∠PAO不大于45°，求P點的橫坐標m的取值范圍；

（3）當P點的橫坐標時，過p點作y軸的垂線PQ，垂足為Q．問：是否存在P點，使∠QPO=∠BCO？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）﹣4≤m≤0；（3）P（，）或P（，）．

【解析】

試題（1）根據函數值相等的點關于對稱軸對稱，可得B點坐標，根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）根據等腰直角三角形的性質，可得射線AC、AD，根據角越小角的對邊越小，可得PA在在射線AC與AD之間，根據解方程組，可得E點的橫坐標，根據E、C點的橫坐標，可得答案；

（3）分兩種情況，P在第二象限和P在第三象限討論．

試題解析：（1）由A、B點的函數值相等，得：A、B關于對稱軸對稱．A（4，0），對稱軸是x=1，得：B（﹣2，0）．將A、B、D點的坐標代入解析式，得：，解得：，拋物線所對應的二次函數的表達式；

（2）如圖1作C點關于原點的對稱點D，OC=OD=OA=4，∠OAC=∠DAO=45°，AP在射線AC與AD之間，∠PAO＜45°，直線AD的解析式為，聯立AD于拋物線，得：，解得x=﹣4或x=4，∵E點的橫坐標是﹣4，C點的橫坐標是0，P點的橫坐標的取值范圍是﹣4≤m≤0；

（3）存在P點，使∠QPO=∠BCO，①若點P在第二象限，如圖2，設P（a，），由∠QPO=∠BCO，∠PQO=CBO=90°，∴△PQO∽△COB，∴，即=，化簡，得，解得或（不符合題意，舍），∴=，∴P點坐標為（，）；

②若點P在第三象限，如圖3，由△PQO∽△COB，∴PQ：CO=OQ：OB，∵B(－2，0)，C（0，－4），∴PQ=2QO，∴點P坐標為（m，），代入，得：，解得：，∵，∴，∴=，∴P的坐標為（，）；

∴滿足條件的點為P（，）或P（，）．