Question

【題目】如圖，拋物線y=-[（x-2）2+n]與x軸交于點A（m-2，0）和B（2m+3，0）（點A在點B的左側），與y軸交于點C，連結BC．

（1）求m、n的值；

（2）如圖，點N為拋物線上的一動點，且位于直線BC上方，連接CN、BN．求△NBC面積的最大值；

（3）如圖，點M、P分別為線段BC和線段OB上的動點，連接PM、PC，是否存在這樣的點P，使△PCM為等腰三角形，△PMB為直角三角形同時成立？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=1；n=-9；（2）最大值為；（3）存在，P點坐標為（，0）或（，0）．

【解析】

（1）利用拋物線的解析式確定對稱軸為直線x=2，再利用對稱性得到2-（m-2）=2m+3-2，解方程可得m的值，從而得到A（-1，0），B（5，0），然后把A點坐標代入y=- [（x-2）2+n]可求出n的值；

（2）作ND∥y軸交BC于D，如圖2，利用拋物線解析式確定C（0，3），再利用待定系數法求出直線BC的解析式為y=-x+3，設N（x，-x2+x+3），則D（x，-x+3），根據三角形面積公式，利用S△NBC=S△NDC+S△NDB可得S△BCN=-x2+x，然后利用二次函數的性質求解；

（3）先利用勾股定理計算出BC=，再分類討論：當∠PMB=90°，則∠PMC=90°，△PMC為等腰直角三角形，MP=MC，設PM=t，則CM=t，MB=-t，證明△BMP∽△BOC，利用相似比可求出BP的長，再計算OP后可得到P點坐標；當∠MPB=90°，則MP=MC，設PM=t，則CM=t，MB=-t，證明△BMP∽△BCO，利用相似比可求出BP的長，再計算OP后可得到P點坐標．

（1）∵拋物線的解析式為y=- [（x-2）2+n]=- （x-2）2-n，

∴拋物線的對稱軸為直線x=2，

∵點A和點B為對稱點，

∴2-（m-2）=2m+3-2，解得m=1，

∴A（-1，0），B（5，0），

把A（-1，0）代入y=- [（x-2）2+n]得9+n=0，解得n=-9；

（2）作ND∥y軸交BC于D，如圖2，

拋物線解析式為y=- [（x-2）2-9]=-x2+x+3，

當x=0時，y=3，則C（0，3），

設直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（5，0），C（0，3）代入得，解得，

∴直線BC的解析式為y=-x+3，

設N（x，-x2+x+3），則D（x，-x+3），

∴ND=-x2+x+3-（-x+3）=-x2+3x，

∴S△NBC=S△NDC+S△NDB=×5×ND=-x2+x=-（x-）2+，

當x=時，△NBC面積最大，最大值為；

（3）存在．

∵B（5，0），C（0，3），

∴BC=，

當∠PMB=90°，則∠PMC=90°，△PMC為等腰直角三角形，MP=MC，

設PM=t，則CM=t，MB=-t，

∵∠MBP=∠OBC，

∴△BMP∽△BOC，

∴，即 ，解得t=，BP=，

∴OP=OB-BP=5-=，

此時P點坐標為（，0）；

當∠MPB=90°，則MP=MC，

設PM=t，則CM=t，MB=-t，

∵∠MBP=∠CBO，

∴△BMP∽△BCO，

∴，即，解得t=，BP=，

∴OP=OB-BP=5-=，

此時P點坐標為（，0）；

綜上所述，P點坐標為（，0）或（，0）．