Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，PC切⊙O于點P，過A作直線AC⊥PC交⊙O于另一點D，連接PA、PB．

(1)求證：AP平分∠CAB；

(2)若P是直徑AB上方半圓弧上一動點，⊙O的半徑為2，則

①當弦AP的長是_____時，以A，O，P，C為頂點的四邊形是正方形；

②當的長度是______時，以A，D，O，P為頂點的四邊形是菱形．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①2；②π或π．

【解析】

(1)利用切線的性質得OP⊥PC，再證明AC∥OP得到∠1＝∠3，加上∠2＝∠3，所以∠1＝∠2；

(2)①當∠AOP＝90°，根據正方形的判定方法得到四邊形AOPC為正方形，從而得到AP＝2；

②根據菱形的判定方法，當AD＝AP＝OP＝OD時，四邊形ADOP為菱形，所以△AOP和△AOD為等邊三角形，然后根據弧長公式計算的長度．當AD＝DP＝PO＝OA時，四邊形ADPO為菱形，△AOD和△DOP為等邊三角形，則∠AOP＝120°，根據弧長公式計算的長度．

(1)∵PC切⊙O于點P，

∴OP⊥PC，

∵AC⊥PC，

∴AC∥OP，

∴∠1＝∠3，

∵OP＝OA，

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠2，

∴AP平分∠CAB；

(2)①當∠AOP＝90°，四邊形AOPC為矩形，而OA＝OP，此時矩形AOPC為正方形，

AP＝OP＝2；

②當AD＝AP＝OP＝OD時，四邊形ADOP為菱形，△AOP和△AOD為等邊三角形，則∠AOP＝60°，的長度＝=π．

當AD＝DP＝PO＝OA時，四邊形ADPO為菱形，△AOD和△DOP為等邊三角形，則∠AOP＝120°，的長度＝．

故答案為2；π或π．