Question

【題目】中國古代對勾股定理有深刻的認識．

(1)三國時代吳國數學家趙爽第一次對勾股定理加以證明：用四個全等的圖1所示的直角三角形拼成一個圖2所示的大正方形，中間空白部分是一個小正方形．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a，b，求(a＋b)2的值；

(2)清朝的康熙皇帝對勾股定理也很有研究，他著有《積求勾股法》：用現代的數學語言描述就是：若直角三角形的三邊長分別為3，4，5的整數倍，設其面積為S，則求其邊長的方法為：第一步＝m；第二步： ＝k；第三步：分別用3，4，5乘k，得三邊長．當面積S等于150時，請用“積求勾股法”求出這個直角三角形的三邊長．

Answer 1

【答案】（1）25；（2）這個直角三角形的三邊長為15，20，25.

【解析】試題分析：（1）根據勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的面積，即可得到ab的值，然后根據（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解；

（2）先由題中所給的條件找出字母所代表的關系，然后套用公式解題．

試題解析：(1)根據勾股定理可得a2＋b2＝13，

四個直角三角形的面積為ab×4＝13－1＝12，即2ab＝12，

則(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝25，即(a＋b)2＝25；

(2)當S＝150時，k＝＝5，

所以三邊長分別為：3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25.

所以這個直角三角形的三邊長為15，20，25.