Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，延長BC至M，使BM=DN，連接MN交BD延長線于點E．

（1）求證：BD+2DE=BM．

（2）如圖2，連接BN交AD于點F，連接MF交BD于點G．若AF：FD=1：2，且CM=2，則線段DG= ．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題（1）根據結論可以猜想：要想解決問題需要把BD+2DE和BM轉化到等腰直角三角形中去，因此想到過點M作BM的垂線與BD 的延長線交于點P，然后利用全等三角形的性質證明DE=PE即可證出結論；（2）由AB//CN可得：，所以DN=BM=2AB=2BC，又CM=2，所以BC=AD=CM=2，所以BD=，FD=，由AD//BM可得：，所以，因為BD=，所以DG=．

試題解析：（1）證明：過點M作NPBM，交BD 的延長線交于點P，

因為四邊形ABCD是正方形，所以∠BCD =90°，∠DBC=∠BDC=45°，

所以PM∥CN，所以∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，

所以∠DBC=∠MPB，所以BM=MP，又因為BM=DN，所以DN=MP，

又因為∠N=∠EMP，∠NED=∠MEP，所以△NDE≌△MPE，所以DE=EP

由勾股定理可得：BP=BM，即BD+2DE=BM

（2）DG=