Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四邊形EFPQ是矩形，點P與點C重合，點Q、E、F分別在BC、AB、AC上（點E與點A、點B均不重合）．

（1）當AE＝8時，求EF的長；

（2）設AE＝x，矩形EFPQ的面積為y．

①求y與x的函數關系式；

②當x為何值時，y有最大值，最大值是多少？

（3）當矩形EFPQ的面積最大時，將矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線CB勻速向右運動（當點P到達點B時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，求S與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）①y=﹣x2+3x（0＜x＜12）；②x=6時，y有最大值為9；（3）S=

【解析】

(1)由EF∥BC,可得,由此即可解決問題;

(2)①先根據點E為AB上一點得出自變量x的取值范圍,根據30度的直角三角形的性質求出EF和AF的長,在在Rt△ACB中,根據三角函數求出AC的長,計算FC的長,利用矩形的面積公式可求得S的函數關系式;

②把二次函數的關系式配方可以得結論;

(3)分兩種情形分別求解即可解決問題.

解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=12，∠A=30°，

∴BC=AB=6，AC=BC=6，

∵四邊形EFPQ是矩形，

∴EF∥BC，

∴=，

∴=，

∴EF=4．

（2）①∵AB=12，AE=x，點E與點A、點B均不重合，

∴0＜x＜12，

∵四邊形CDEF是矩形，

∴EF∥BC，∠CFE=90°，

∴∠AFE=90°，

在Rt△AFE中，∠A=30°，

∴EF=x，

AF=cos30°AE=x，

在Rt△ACB中，AB=12，

∴cos30°=，

∴AC=12×=6，

∴FC=AC﹣AF=6﹣x，

∴y=FCEF=x（6﹣x）=﹣x2+3x（0＜x＜12）；

②y=x（12﹣x）=﹣（x﹣6）2+9，

當x=6時，S有最大值為9；

（3）①當0≤t＜3時，如圖1中，重疊部分是五邊形MFPQN，

S=S矩形EFPQ﹣S△EMN=9﹣t2=﹣t2+9．

②當3≤t≤6時，重疊部分是△PBN，

S=（6﹣t）2，

綜上所述，S=