Question

【題目】如圖，已知是⊙的直徑，弦與交于點，過點作⊙的切線與的延長線交于點， 交直線于點．

（）若，求證： 是⊙的切線；

（）如果， 且為的中點，求直徑的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）24.

【解析】試題分析：（1）連接OC，因AC=BC，OA=OB，根據等腰三角形的三線合一的性質可得OC⊥AB，再由CG∥AB，即可得OC⊥CG,結論得證；（2）連接BC，由AF為圓O的切線，利用切線的性質得到AB與AF垂直，可得出∠DAF與∠DAB互余，再由D為EF的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半及中點的定義得到AD=DE=DF，利用等邊對等角得到∠DAF=∠AFC，又AB為圓的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角，可得出∠ACB為直角，即∠ECB與∠FCA互余，再由同弧所對的圓周角相等得到∠ECB=∠DAB，利用等角的余角相等可得出∠DAF=∠FCA，等量代換可得出∠FCA=∠AFC；過C作CH⊥AB，垂足為H，又AF⊥AB，利用平面內垂直于同一條直線的兩直線平行，得到AF∥CG，根據兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，再由對頂角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得△AEF∽△HEC，由相似得比例列出比例式，由DF=DE及DE與EC的比值，求出CE與EF的比值，可得出AF：CH的值，又AF=AC，進而確定出AC與CH的比值，利用銳角三角形函數定義求出cos∠CAB的值，在直角△ABC中，由AC的長及cos∠CAB的值，利用銳角函數定義即可求出AB的長．

試題解析：

（1）連接OC，

∵AC=BC，OA=OB，

∴OC⊥AB，

∵CG∥AB，

∴OC⊥CG,

∴是⊙的切線；

（2）連接BC，AD．

∵AF為⊙O的切線，

∴AF⊥AB，即∠DAF+∠DAB=90°，

∵D為EF的中點，

∴DF=DE=AD，

∴∠DAF=∠AFC，

∵∠DAF=∠ACF，

∴∠FCA=∠AFC；

過C作CH⊥AB于H，

∵AF⊥AB，

∴AF∥CH，

∴∠F=∠ECH，又∠AEF=∠CEH，

∴△AEF∽△HEC，

∴AF：CH=AE：EH=EF：EC，

∵DE=CE，DF=DE，

∴CE：FE=2：3，

∴CH：AF=2：3，

∵∠FCA=∠AFC，

∴AF=AC=8 ，

Rt△ACH中，CH：AC=2：3，

∴cos∠CAB=，

在Rt△ACB中，AC=8，

∴AB==24．